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1.1.1 实数简介在线视频

下一节:1.2.1 函数的概念

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1.1.1 实数简介课程教案、知识点、字幕

同学们好

我们今天来学习第一章函数

由于实践和各门科学自身发展的需要

到了16世纪

对物体运动的研究成为自然科学的中心问题

与之相适应

数学在经历了两千多年的发展之后

进入了一个新的时代

即变量数学的时代

终于在运动中变化的量

变量及它们之间的依赖关系的反映

数学中产生了变量和函数的概念

如伽利略发现自由落体下落的距离

S与经历的时间

T的平方成正比

得到了著名的公式

S=1/2gt²

确定了变量

T与S之间的依赖关系即函数关系

这就是自由落体运动规律的数学表述

数学的一项重要任务

就是找出反映各种实际问题中

变量的变化规律

及其中所蕴含的变量之间的函数关系

函数是数学中最基本的概念之一

微积分研究函数的一些局部的和整体的形态

本章介绍的函数的一般概念

几种常用的表示方式

最基本的函数类

初等函数

函数的性质以及经济学中几种常用的函数

第一讲实数的简介

一数的发展

随着人们理性地认识世界

产生了各种各样的数

数是人类在精神上制造出来的

最抽象的概念

能够理性反映客观世界的信息

其发展主要是由最初的正整数

零

负整数发展为整数

然后出现了分数

因而形成了有理数

再有无理数的出现

成就了数学中常用的实数的出现

再由于需要复数的出现

解决了负数不能开偶次方根的问题

由数的发展

可见数有如下组成的结构

一正整数零负整数构成整数

分数有理数

有理数

一般表示为p/q

其中pq为既约的整数

并且q≠0

有理数

无理数构成实数

然后再出现虚数

构成复数

其中实数与数轴上的点成一一对应关系

二实数的绝对值

定义1.1

假设X为任意实数

定义∣X∣为

定义∣X∣为

当X≥0的时候为X

当X＜0的时候为-X

它的几何意义

∣X∣表示数轴上的点X到原点的距离

如图

∣X-Y∣表示数轴上两点

X与Y之间的距离

绝对值具有的一些基本性质如下

∣X∣≥0

∣-X∣=∣X∣

∣X∣等于X²的算术根

对任意实数

-∣X∣≤X≤∣X∣

∣X∣≤K

其中K≥0

等价于-K≤X≤K

∣X∣≥K的时候

K≥0

等价于X≥K或者X≤-K

∣X±Y∣≤∣X∣+∣y∣

∣∣X∣-∣Y∣∣≤∣X-Y∣

∣XY∣=∣X∣·∣Y∣

∣X/Y∣=∣X∣/∣Y∣

其中Y≠0

证明呢

大家自己回去做一下

好

我们利用这个绝对值不等式的性质

来求解一个例题

来求解一个例题

解绝对值不等式

∣X²-3X-2∣＜2

解由绝对值不等式的性质

我们可以得出X²-3X-2＜2

同时X²-3X-2＞-2

可以推出X²-3X-4＜0

X²-3X＞0

从而得到-1＜X＜4

并且

X＜0或者X＞3

由数轴上可以得出

我们相应的X的范围为

-1＜X＜0

或者3＜X＜4

及X的取值范围为

X∈（-1,0）∪（3,4）

常用的数集有哪些呢

三

常用的实数集自然数集

N由0 1 2 3

一直到n再到无穷来组成的

整数集Z是由0 ±1 ±2

一直到±n来组成

正整数集Z右上角写个加号

这表示是正整数解

有1 2 3一直到n再到无穷

有理数集

Q表示p/q来代表

其中p表示自然数

q属于正整数且pq互素

实数集

全体实数构造的是实数集

实数集在数轴上表示是整个数轴

后面如果无特殊说明

均限于

实数范围之内计算

除了常见的这个集合表示以外

我们的表示还有区间

区间有闭区间

闭区间是由集合{x∣a≤x≤b}构成

记作[a，b]闭区间

在数轴上表示为a到b包含a

b两个端点

开区间集合{X∣ a＜x＜b}

记作（a，b）

在数轴上不包含端点a和b

左开右闭区间

由集合{X∣ a＜x≤b}

来组成

记作（a，b]

左闭右开区间

由集合{X∣ a≤x＜b}

记作

[a，b）

在数轴上表示的时候包含a不包含于b

还有无穷区间

无穷之间有{x∣ x≥a}表示的无穷区间就是

a到正无穷

其中包含a

（-∞，b）

x表示的是x＜b的集合

在数轴上表示从﹣∞到b不包含b

（-∞，+∞）全体实数代表的是整个数轴

定义1.2

假设a与δ是两个实数

并且δ＞0

数集{x∣ ∣x-a＜δ}

成为点a的δ邻域

记作U（a，δ）

在数轴上表示如图

称为这邻域的中心

δ称为这邻域的半径

集合表示

也就是U（a，δ）

为{x∣a-δ＜x＜a+δ}

有些问题需要去除中心

所以因此就有

点a的δ是空心邻域

U（ a δ）去掉点a

在数轴上表示就不包含中心a

用集合表示也就是{x∣0＜∣x-a∣＜δ}

点a的左δ邻域（a-δ，a）

在数轴上表示如下图

点a的右δ邻域

区间表示为（a，a+δ）

在数轴上表示下图

本小节有关数的发展和数的表示就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言课程介绍

-微积分简要介绍

第一章函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一函数图形

第二章极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二求极限

第三章导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三求导数

第四章中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四求函数最值

第五章不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

1.1.1 实数简介笔记与讨论

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