当前课程知识点：微积分I > 第四章中值定理与导数的应用 > 4.6 函数的微分法作图 > 4.6.4 微分法作图

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4.6.4 微分法作图在线视频

下一节:数学实验四求函数最值

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4.6.4 微分法作图课程教案、知识点、字幕

同学们好

我们稍微回顾一下

前面我们学习过的关于函数曲线的几种特性

一是利用函数导数的符号

确定出曲线的单调性与极值点

二是利用函数的二阶导数

确定出曲线的凹凸性与拐点

三是利用极限作为工具

可以求出曲线的三种渐近线

这样

给定一段曲线

我们就可以得出曲线的单调性

凹凸性及在无穷远处的渐近线

利用这三个性质

我们就可以大致描绘出这一段曲线的形状

今天我们就利用这些工具

以极值点

拐点等作为分界点

把函数的曲线划分成各个区间上的曲线段

然后确定每段的单调性及凹凸性

显然

按这种分割法

曲线可以分成四种情形

单调增加凹的

单调增加凸的

单调减少凹的

单调减少凸的

如果是无限区间上的曲线段

再进一步确定

它在无穷远处的渐近线

也就是说

看他在无穷远处可不可以与某条直线无限接近

最后

根据上述确定的性质

在坐标系中描出每段曲线的形状

这样就得到了函数图形的大致形状

这就是我们今天要学习的微分法作图

大致分以下几个步骤

第一步

确定f(x)的定义域

讨论其奇偶性

对称性

周期性

第二步

求出f'(x)及其零点和不存在点

由此确定单调区间和极值点

第三步

求出f''(x)及其零点和不存在点

由此确定凹凸区间和拐点

第四步

讨论渐近线方程

第五步

讨论一些特殊点

与坐标轴的交点等

为了比较精确的描绘出

函数曲线的图形

适当描出一些辅助点

这些辅助点一般选极值点

拐点与坐标轴的交点等

当然根据需要

也可以在此基础上

再描一些自认为必要的点

显然辅助点越多

描出来的图形

一般越精确

最后用光滑的曲线描绘出每段曲线

就得到完整的函数曲线

下面我们通过一个例子

具体来看如何按上述步骤描绘函数的图形

做函数f(x)=[4(x+1)/x²]-2的图形

第一步

确定函数的定义域x≠0

不是周期函数

也不是奇偶函数

大家可以思考一下

为什么要考虑函数的奇偶性和周期性

因为如果是周期函数

我们可以只描绘一个周期的图形即可

如果具有奇偶性

根据对称性

也可以只描绘函数半边的图形

第二步

求函数的一阶导数

并求出导数为零的点和导数不存在的点

利用这些点可以划分出曲线的单调区间

f'(x)=(-4x+2)/x³

得出导数为零的点x=-2

导数不存在的点x=0

第三步

求函数的二阶导数

并求出二阶导数为零的点

及二阶导数不存在的点

利用这些点可以划分出曲线的凹凸区间

f''(x)=8(x+3)/x⁴

得出二阶导数为零的点x=-3

二阶导数不存在的点x=0

利用-3 -2 0这几个点

把定义域划分成几个区间

分别是(-∞,-3) (-3,-2)

(-2,0)

(0,∞)

分别讨论每个区间内一阶导数和二阶导数的符号

得到每个区间内的单调性和凹凸性

(-∞,-3)内一阶导数小于零

二阶导数也小于零

从而得到函数曲线是单调减少且是凸的

我们用箭头朝下

且曲线朝上弯的符号来表示

(-3,-2)内一阶导数小于零

二阶导数大于零

从而得到函数曲线是单调减少

且是凹的

我们用箭头朝下且曲线朝下弯的符号来表示

(-2,0)内一阶导数大于0

二阶导数也大于0

从而得到函数曲线是单调增加且是凹的

我们用箭头朝上

且曲线朝下弯的符号来表示

(0,+∞)内一阶导数小于0

二阶导数大于0

从而得到函数曲线是单调减少且是凹的

我们用箭头朝下且曲线朝下弯的符号来表示

再看分界点处

由于-3两侧二阶导数异号

从而-3对应于曲线上的点

(-3 ,-26/9)为曲线的拐点

-2两侧一阶导数为左负右正

所以此点为极小值点

对应极小值为-3

0为间断点

第四步

求出曲线的所有的渐近线

先看水平渐近线

由于极限limx→∞ f(x)=-2

存在水平渐近线y=-2

并在x 方向两侧无穷远处都渐近

再看竖直渐近线

由于limx→0 f(x)=+∞

所以x=0为竖直渐近线

并且在y 方向的正无穷远处

从x=0的两侧渐近

第五步

为了较准确地描出曲线

我们再描一些辅助点

描点A点(-3,-26/9)

B点(-2,-3)

C点(-1,-2)

D点 (1,6)

E点(2,1)

F点(3,-2/9)

最后用光滑的曲线描出每一段曲线

得函数的曲线

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言课程介绍

-微积分简要介绍

第一章函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一函数图形

第二章极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二求极限

第三章导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三求导数

第四章中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四求函数最值

第五章不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

4.6.4 微分法作图笔记与讨论

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