当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第1讲 引论 > 1.4 关于函数逼近的方式 > Video 1.4
关于试函数的问题，关键是要讨论函数的逼近问题
我们以一个一维函数为例
来分析和讨论它的展开和逼近问题
这个f(x)是一个一维函数
它的函数形式是像这样的曲线
我们考虑两种方式来逼近
第一种方式是基于全域的
也就是说是从x0到xl这个定义域
全域的傅里叶级数的展开
那么我们就要取一系列的基底函数
也就是说从φ1到φn
那么第一阶的基底函数
我们取一个sin函数， 就是一个波的
那第二个基底函数，我们取两个波的sin函数
第三阶的基底函数， 我们取三个波的基底函数
当然我们还可以取很多更高阶的
我们把这些这些基底函数进行线性组合
也就是说在每一个基底函数前面乘上相应的系数
这样把它Σ起来
就可以对原函数进行一个逼近
那么注意我们的基底函数， 它是定义在全域上的
也就是说是定义在x0到xl的基底函数
那么c0、c1这些都是系数
第二种展开方式，就是基于子域的展开方式
对于f(x)这个函数
我们假定可以把它分成很多段子域
对于一维问题来说就相当于分出很多子段
在每一段里，我们可以用一个线性函数来逼近它
比如xi到xi+1这个子域
我们用ai+bi*x这个线性函数来逼近它
当然这个ai和bi是两个系数
那不同的子域有不同的线性函数的系数
那同样我们把每一段的这个线性函数把它Σ起来
这样的话，就可以组成或者逼近原来的原始函数
也就是说我们用分段的线性函数
拼出一个函数来逼近原始的函数
那我们看一下它的基底函数
这个基底函数实际上就是每一个子域
或者是段里面的一个线性函数
那我们来比较一下刚才的两种展开方式或者逼近方式的特点
对于复杂的f(x)采用级数展开的方式
就必须用一系列的基底函数
从低阶到高阶的基底函数
来进行线性组合来逼近它
那么这个基底函数，它的特点是一般都是解析函数
它具有高阶的连续性
也就是说高次的导数，它是连续的
由于这个基底函数的连续性高
所以往往只取几阶就可以获得很好的逼近精度
但是它不足的地方就是基底函数比较复杂
要定义在全域上
当然对于一维问题，它相对来说还比较容易做
对于二维、三维问题，怎么构造全域的基底函数
这是非常困难的
对于子域展开的这种方式
我们把这个对象，这个定义域分成若干个子段
在每一段里都用线性函数来逼近
由每一个线性函数
把它拼出一个函数来逼近这个原始函数
但是我们可以看看这个拼出来这个函数
应该说主要的形状逼近应该还是不错的
但是在拼接的地方，它的导数是不连续的
也就是说很多这种的折点
所以说我们可以看出来
它的函数的阶次低，但是它的连续性比较差一些
但是它对整体的逼近程度
也就是说它的形状描述的程度还是不错的
当然为了提高它的精度，我们可以把子域分得更细
同时我们把子域的这个函数
可以用比如刚才说的是线性函数
我们可以用二次函数、三次函数来进行逼近
也可以提高我们逼近的这个连续性的要求
那么它的关键就是
怎么针对复杂的2D、3D情况来
构造出分片或者是分块的试函数
这是里面的一个重点和难点
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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--Doc I-1
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-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
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-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
