当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第6讲 基于试函数方法的经典实现及有限元实现 > 6.3 有限元方法中的基本步骤 > Video 6.3
以2D问题为例
简单介绍一下有限元方法的基本步骤
首先看一下主要的几大步
第一步是对复杂的几何域进行一个几何域的离散
我们通过离散可以获得标准化的单元
比如这个三节点的单元
那么我们对这个单元要描述它的三大类变量
同时也要通过能量原理
比如最小势能原理和虚功原理来获得它的力学方程表达
这个方程表达就是单元刚度方程
第三步就是在各个单元的单元方程获得以后
要把所有的单元进行集成
集成以后得到一个整体的刚度方程的表达
第四步就是针对BC(u)
也就是说我们要处理位移边界条件
处理好以后，我们就求取
除了BC(u)以外的其它所有节点的位移值
第五步，当我们所有节点位移值获取以后
我们可以计算BC(u)
就是说有约束的地方的支反力
最后，如果需要的话
我们可以对每一个单元计算其它的物理量
比如应变和应力
那么在刚才提到的六个步骤里面
最核心的就是单元研究
那么我们看一看单元研究
我们比如有1D单元、2D单元、3D单元
所谓的单元就是我们标准的、参数化的几何划分出来的
我们叫单元
那单元研究同样也离不开我们的力学的描述和力学方程
我们都知道，首先单元里面有节点
那节点的话，就是要描述参数化的几何节点的节点坐标
同样对节点上的位移分量和
节点上的力的分量要进行一个描述
在节点描述的基础上，要进行单元上的函数的描述
也就是场的描述
这个场包括我们三大类力学变量
也就是说位移场、应变场和力学场的函数的描述
基于场函数的描述，我们要计算最小势能
也就是说用最小势能原理来计算系统的刚度方程
具体就要算单元上的应变能U，还有外力功W
如果用虚功原理的话，就要计算
单元上的虚应变能δU
还有单元上的虚外力功δW
那么我们通过最小势能原理或者虚功原理
可以获得单元的方程
单元的方程我们前面在证明
最小势能原理和虚功原理的时候都知道
单元的方程实际上就是对原来的平衡方程的加权逼近
同时也是对力的边界条件的加权逼近
这是它的物理含义，这一点非常重要
下面具体介绍有限元方法的基本步骤
第一步就是把变形体复杂几何区域进行离散化
也就是把Ω变成Ωe
Ωe就是我们的单元
它具有参数化、标准化、规范化的特征
第二步进行单元的研究
首先要进行单元的节点的描述
那么我们知道单元的节点变量有几何坐标
我们以1D杆单元为例
我们就是节点1、节点2
我们几何坐标就是x1,x2
那么对于1D杆单元我们要描述节点位移
我们叫u1,u2
我们把它写成一个节点位移的列阵
我们把节点变量也称为自由度
对于1D杆单元它有两个节点的位移
所以它叫两个自由度
对于节点力P1和P2
同样我们把它写成一个列阵
在得到节点的描述以后
我们要进行单元的场的描述
那么这个单元的场呢，我们有位移场
应变场还有应力场
那么我们看一看
对于这个1D的杆单元
我们的位移场由于是两个节点位移
所以我们取两个待定系数
我们这个函数也是从低阶到高阶
所以我们这里有一个收敛性的要求，有两点
一点是待定系数的个数要和我们的节点自由度要对应
具有唯一确定性
第二，我们的多项式是从低阶到高阶
那么我们取了位移场函数以后
我们用节点条件来进行插值
我们可以得到这个位移场函数的一个表达
同样应变场我们用几何方程把位移场函数代进去
我们可得到应变场的这么一个表达
对于应力场同样也是
我们用上物理方程把刚才得到的应变场函数
代到物理方程里来
可以得到应力场的表达
我们把三大类场函数都可以看看
都是基于一个节点的位移的表征
也就是说都是基于qe
当然中间的具体推导
我们在后面的具体单元研究中会给大家作一个详细的推导
我们这里就给出一个表达式
在得到了三大类变量的场的描述以后
我们要运用能量原理来得到相应的单元的方程
那么这个能量原理，首先如果用最小势能原理
那就是要计算应变能
应变能我们都知道
我们把应力和应变的这个场函数
前面得到的这个表达式代进来，就可以得到
这个具体的表达我们在后面单元研究中会给大家具体推导
同样，外力功呢
对于我们这个杆单元，因为是两个节点力
所以直接就是节点的力乘上节点的位移
那这样我们把它写成一个矩阵列阵的表达
就可以得到
那么势能等于应变能减外力功
我们把这个势能、外力功代入以后
就得到这样一个表达
最小势能原理就是取极小值
对谁取极小值呢
就是对节点位移q取极小
那么我们对势能，对q取一阶导数
让它等于0
这样的话我们就得到这么一个单元的刚度方程
这个方程叫
那么这个K等于
这个B是应变场的B(x)函数乘上弹性系数矩阵
再乘上个应变，对整个域积分
这个表达式我们在后面单元中间还要具体地推导
那么这个力同样也可以表达成
我们施加的外力还有我们的反作用力
比如是位移边界条件里的支反力
在单元研究的基础上
也就是说我们得到了单元刚度方程
我们就要进行第三步，叫组装
组装就是把Ωe要集成成一个大的Ω
这样我们单元刚度方程组装成一个整体刚度方程
那么每一项我们都加起来，是一个组装的关系
第四步，边界条件的处理并求解节点的位移
那么我们把刚才得到的整体刚度方程
把它写成分块形式
也就是说我们把基本变量q
也就是节点位移写成两个部分
一个部分是未知的，一个部分是已知的
已知的就是相当于我们的位移边界条件
同样把力这一部分也写成两个部分
一个是PF，施加的外力
还有一部分是支反力
那么我们把分块的这个整体刚度方程写成这么一个形式
我们可以看到，这是未知的节点位移
这是已知的节点位移
这是已知的外力
这是未知支反力
大家可以看看，已知和未知之间它是一个互补的关系
可以把上面分块的方程写成两个子方程
这个叫第①个方程
这个叫第②个方程
我们可以由第①个方程直接来求出qu
qu就是未知的节点位移
那么我们写出的表达式是这样的
当求出未知的节点位移以后
加上节点的边界条件
这样的话我们就得到所有节点的位移
所有节点的位移知道以后
我们就可以由方程②直接来求支反力
那这个支反力求解的结果是这样的
那第六步就是求解其它的力学量
这个也是在求得整体节点位移以后
不同的单元也就从整体节点位移里面
把这个单元所对应的节点位移提出来
然后再分别计算各个单元的应力和应变
实际上就是由几何方程来算应变
用物理方程来算应力
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
--Doc I-5
-【应用建模Project6】热应力分析：桁架结构的温度及装配应力分析
--Doc I-6
-【高级建模Project7】结构的概率：大型液压机机架的概率设计分析
--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
