当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第9讲 连续体结构的有限元分析(2) > 9.4 数值积分 > Video 9.4
前面我们讲参数单元的时候
涉及到刚度矩阵的计算
我们再看看，对于平面问题
4节点的等参元，我们看看
在(x,y)坐标系里面，刚度矩阵的计算
它是需要计算ξ,η,偏ξ,偏η
这么一个很复杂的，在(ξ,η)坐标系里面进行一个积分
也就是从-1到1这么一个域的积分
我们具体把4节点等参元的这些关系代进去后
我们就可以得到每一个刚度矩阵里面的元素的具体表达
那么我们看看kij
也就是ij这个位置的元素，我们看看
它是一个
再乘上一个同样也是一个线性函数的表达
这样乘起来再除一个线性函数
这样的话函数就非常复杂
所以这个函数是一个非线性函数
对它在dξdη在-1到1这么进行积分
往往我们要用数值积分
数值积分我们看看一维问题的，也就是
这么一个数值积分
它的基本思想就是用函数本身再乘上一个加权系数
然后把它Σ起来
当然这涉及到用多少个点的函数
同样用多少个点的加权系数来进行组合以后把它Σ起来
这里面涉及到积分的权系数和积分点的位置
最佳数值积分的思想就是
对于f(ξ)这个函数，我们希望构造一个多项式
当然构造的多项式是一个已知的
是比较简单的、已知的
也就是说我们在积分点上要和
原来的复杂的f(ξ)这个函数要相等
在这些点上要相等
那这样的话我们用构造的这个函数来代替原来的f(ξ)
这样我们就对构造的这个ψ(ξ)函数来进行精确积分
关键的技术就是怎么来构造多项式ψ(ξ)
使得对f(ξ)有最好的逼近
比较好的一种方法就叫高斯数值积分
1点高斯积分，我们看看
就是取1个点，就是说ξ1是它的积分点
A1是它的权系数
那么高斯积分怎么来确定ξ1和A1这两个参数
使得这个积分有一个最佳的逼近
我们把f(ξ)这个函数假定从低阶到高阶
比如取最低阶就是常数
另外还可以取一个一次项
对这两种情况使得刚才这个1点高斯积分是一个精确积分
比如我们把f(ξ)取为a0，这是一个常数
在这种情况下，我们来精确计算上面这个积分
左边精确计算这个积分，算出来就是2乘上a0
右边这个我们同样把A1放在这里
把ξ1这一点的位置代进这个函数
它本来是一个常数，所以它也是a0
对第二种情况，也就是取一次项的时候
也就是说取a1ξ的情况
我们对上面这个高斯积分的左端先作一个精确积分
它的精确积分出来就是0
右端我们来看看
这个时候A1这个加权系数放在这
f(ξ1)这个函数在这个位置点的函数
刚才已经说了取的是a1ξ
所以把这个位置点代进去就是a1乘上ξ1
由这两个方程来求a1和ξ1
那我们求出来就是A1=2，ξ1=0
这样我们就得到1点的高斯积分为
它的权系数为2，它的积分点为0
我们看看这个图形，从-1到1积分
假定原来的函数是一个复杂的函数f(x)
现在我们用高斯积分来做
就是取0点的这个函数值再乘上一个2，也就是它的宽度
我们可以看看，相当于用了这么一个矩形的面积
来计算它原来的这个面积
那对于2点的高斯积分
我们取两点，那就是ξ1,ξ2，这是积分点的位置
那分别前面的A1,A2是它的权系数
就是高斯积分公式的系数
那么我们看看，这里面有ξ1,ξ2，还有A1,A2
这4个是我们两点高斯积分中间的4个系数
我们怎么来确定这4个系数
一个是构造刚才所提到的正交多项式
最佳的逼近，这样来做他
这可以参考有关的数值分析的书籍
另外还有一个方法就是直接来构造
来做这个A1,A2和ξ1,ξ2这个系数
怎么来求取
我们用直接法来求取
按照前面的思想
我们要使得这个积分公式
对于从低阶到高阶的多项式是一个精确成立的
那么我们基于这个假定确定A1,A2和ξ1,ξ2
我们分别取
当这个被积函数f(ξ)分别为常数，也就是取1
一次ξ，ξ的平方，ξ的三次方时
使得这个积分是一个精确的
那么我们分别把这4种情况代到这个积分公式
左端我们就把它精确积分出来
右端就把这个函数放进去
分别用高斯积分的公式写出来
这样我们由这4个方程就可以求出
ξ1,ξ2,A1,A2这4个数
前两个数ξ1,ξ2就是积分点的位置
A1,A2就是权系数
这样我们就把两点高斯积分的公式就写成
由于它的权系数是1
所以就写成
这就是2点的高斯积分
对于多点高斯积分
同样，我们假定是n点
n点的位置就是ξ1一直到ξn
对应的权系数就是A1到An
同样怎么确定刚才说的ξ1到ξn以及A1到An这些系数
我们数学手册里可以查询
同样，如果还用刚才直接法来进行构造的话
那它的难度就比较大了
因为它涉及到高次的非线性方程
这个一般很难求出来
那么基于Legendre多项式构造来进行求取
这样就比较简单一些
那么数学手册里面我们可以查出来
分别积分点为1、2、3、4时
积分点的位置及积分的权系数我们都把它列出来
我们需要的时候就可以查询
刚才是一维的高斯积分问题
我们真正要做的时候要用到二维的高斯积分
和三维的高斯积分
我们看看二维的高斯积分
它是关于ξ和η的-1到1的积分
我们把它分别分解成两个方向
也就是说沿着ξ,η分别用相应的高斯积分点来进行积分
那么我们就可以得到i,j从1到n的这么一个点阵的
也就是说平面点阵的高斯积分的这么一个公式
其中高斯积分点ξj和ηi
这就是我们一维高斯积分的积分点
Ai,Aj这两个分别是一维高斯积分的权系数
乘起来过后也就是说我们二维的权系数
对于三维的高斯积分也一样
分别沿着3个方向都按照一维的高斯积分来进行
分别可以得到Am,Aj和Ai这3个方向的权系数
同样在这3个方向也是用高斯积分点ξi,ηj,ζm
同样我们来用一维高斯积分来做
这样我们得到的合成以后的高斯积分点就是
3个方向的一维高斯积分点
前面这个权系数就是这3个方向的权系数相乘
就可以得到三维的高斯积分的权系数
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
--Doc I-5
-【应用建模Project6】热应力分析：桁架结构的温度及装配应力分析
--Doc I-6
-【高级建模Project7】结构的概率：大型液压机机架的概率设计分析
--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
