当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第5讲 变形体力学方程求解的试函数方法的原理 > 5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求 > Video 5.3
对于梁的弯曲问题用试函数的方法进行求解
我们看一下，有Galerkin法
有残值的最小二乘法
那么里面都有一个试函数的问题
那么我们看一看对于梁的弯曲问题
我们的控制方程是关于自变量函数
也就是说我们的挠度是四阶导数
边界条件有两类，BC(u)和BC(p)
那么我们在刚才不管是Galerkin加权残值法
还是最小二乘法里面，我们都要设定试函数
首先试函数都要满足所有的边界条件
也就是说我们在这个问题里面就是
BC(u)和BC(p)都要满足
这是第一个问题，满足所有的边界条件
第二个问题
我们设定的试函数要代入到控制方程里面去
要定义一个残差函数R(x)
那么我们可以看一看
我们的控制方程里面是关于v
也就是挠度函数是四阶导数
所以说这就要求我们的试函数在四阶导数一定要存在
否则的话代进去过后就没意义了
这就是问题二
就是如何降低试函数对高阶导数的要求
我们前面的例子里这个问题还不突出
为什么？因为我们取的都是sin函数
φ1是sin，φ2也是sin函数
那么sin函数大家都知道
它是无穷多阶的导数都连续的都存在的
所以不存在这个问题
对于复杂的问题
要取这个试函数满足高阶导数连续往往是非常困难的
那同样对于一般的弹性问题
有三大类变量、三大类方程
那么三大类变量呢涉及到我们的位移、应力、应变
方程有平衡方程、几何方程、物理方程
另外还有两类边界条件
那么我们同样要基于前面所说的用试函数的方法来进行求解
那么试函数我们前面举的例子呢是关于梁的弯曲问题
因为它只有关于挠度的
我们就化简为关于挠度的控制方程
那么我们一般弹性问题呢，三大类变量就非常复杂了
变量比较多，所以我们要用试函数方法来做
我们需要把三大类变量代换一下
也就是说把三类变量代换成一类变量
我们先求出一类，再求出其它两类
这样的话使得问题简化一些
那么我们看一看，如果我们以位移函数作为最基本的变量
那么这样的话就是应力函数和应变函数要通过代换的方式
把它化为位移的函数
那么我们可以通过几何方程把应变可以化为位移的表达
这个表达是一个偏导的表达，是比较复杂的
它不是一般的线性组合的表达
那同样，我们用物理方程可以先把应变化为应力
或者是把应力用应变来表达
那么应变再通过刚才的几何方程再用位移来进行表达
这样的话我们就可以把应力和应变都通过位移来进行表达
也就是我们先基于位移这一类变量来进行求解
然后再来求其它的变量
那通过几何方程和物理方程的代换以后得到的平衡方程
这个时候的平衡方程的表达呢
都是基于位移进行表达的
我们把这类问题
当然我们现在是针对平面弹性问题
所以说是两个控制方程
这两个控制方程实际上就是平衡方程
但是它是通过位移来进行表达的
我们看一下，关于位移的导数
最高的导数的要求是有两阶的导数要求
就是偏u有两阶导数，不管是对x方向还是y方向
同样对于边界条件我们都表达成位移的边界
那么本身的BC(u)呢它本来就是位移的表达
那BC(p)呢，我们把应力通过位移进行代换
那么我们也可以得到基于位移表达的BC(p)
那么如果我们用这个试函数的方法来进行求解
那就是说平面问题，我们对于x方向的位移
也就说u(x,y)要设定试函数
同样对y方向的位移也要设定试函数
那么按照我们前面的基本的思路
也就是说要设定基底函数φ关于u的
也就说x方向位移的基底函数
同样也要设定关于y方向位移v的基底函数
分别进行线性组合，我们就可以得到这个试函数的表达
那么这个里面的cui和cvi就是待定系数
这个φui和φvi就是基底函数
当然如果是用前面说到的Galerkin方法或者是最小二乘法
那么基底函数要满足所有的边界条件
那么我看看，代入到控制方程里面去
我们把这个控制方程，也就是残差方程写出来
因为它肯定是不为0的
所以它再对基底函数进行加权
对整个域进行积分
那么同样对y方向的位移也就是v作同样的处理
我们就有两组Galerkin方程
那么问题一呢就是试函数
我们设定的试函数要满足两类边界条件
问题二就是我们在控制方程里面
也就是做这个残差函数的时候
也就是说要求我们试函数在一般弹性问题里面
至少两阶导数要存在
所以说怎么降低试函数对高阶导数的要求
那么我们简单归纳一下弹性问题加权残值法的难点和特点
前面提到了，试函数首先要满足所有的边界条件
也就是说要满足BC(u)和BC(p)
这是难点一
另外在积分中间的试函数
也就是我们在做残差函数的时候
它的最高阶导数比较高
那么前面提到的
对梁的弯曲问题它的最高阶导数要求是四阶
对一般弹性问题最高阶导数要求是两阶
因些对试函数的连续性要求是比较高的
这就是难点二
那么整个加权残值法应该说是计算一个全场
也就是说几何域Ω全场的积分
物理含义就是整个区域的误差的计算
这是特点一
由求取积分问题的最小值
也就说是误差最小
将原方程的求解化为线性方程的求解
那么这是特点二
那整个方法处理的流程是比较规范的
这是特点三
我们看看，难点一和难点二是需要我们进一步解决的
特点一、特点二和特点三是需要我们保留的
那么现在我们就提出刚才提到的两个难点
也就是说能不能对试函数满足两类边界条件
也就是说BC(u)和BC(p)这个问题能不能降低它的要求
能不能只满足一类边界条件
比如只满足位移边界条件BC(u)
这是针对难点一
针对难点二
也就是说怎么降低试函数对高阶导数的要求
那么我们刚才提到了
梁的弯曲问题要求我们的试函数至少四阶导数必需存在
对于一般弹性问题要求试函数至少两阶导数存在
那么这个难点二
我们能不能把试函数对高阶导数阶次的要求降低一半
梁的弯曲问题能不能试函数只要求两阶导数存在
对于一般弹性问题试函数只要求一阶导数存在
这就是我们后面要研究的问题
那实际上对难点一、难点二
就是边界条件和最高阶导数要求的降低
这两个难点呢我们后面又发展能量原理
就可以处理这两个问题
能量原理呢又包含虚功原理还有最小势能原理
其中的数学思想就包含有分部积分和变分方法
为什么要提一下数学思想呢
就是通过分部积分和变分方法
可以使得我们对试函数的导数阶次的要求降低
就是通过分部积分来实施的
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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--Doc I-1
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