当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第4讲 针对复杂几何形状变形体的力学描述(2) > 4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解 > Video 4.2
下面我们针对简单的栏杆问题
给出完整的弹性力学的求解
实际上这个拉杆问题呢
材料力学，大家都可以直接给出相应的解
那么我们用前面建立的三大类变量
三大类方程，还有两类边界条件
来完整的处理一下这么简单的拉杆问题
我们所列出来的三大类变量
我们看看二维问题u、v、σ三个量
应变也是三个量
三大类方程平衡方程、几何方程、物理方程
还有两类边界条件
由于这是一个一维问题
也就是说它的自变量是x
我们所有的变化都是只沿着x
沿着y、沿着z我们都不考虑
那这样我们就把所有沿着y方向的这些变量
全部给它去掉
那这样我们位移的变量就剩下前面x方向的分量
而且这里面的自变量还只留下x
应力的分量的话也只留下σxx
那应变的分量也只留下εxx
同时它也只关于x变化
那么方程呢也是
y方向的这个平衡方程也去掉
同样在关于x的方程里面呢
关于y方向的增量偏导也没有
假定体积力也不考虑
那么我们就剩下这么一个方程
那么在几何方程里面一样
只剩下εxx
因为关于y方向的相对伸长量还有夹角的变化都没有
这个都可以去掉
物理方程也一样
关于y方向的伸长的物理方程
还有夹角变化的物理方程，也都去掉
在x方向的物理方程里面
由于y方向应力引起的泊松效应
这个地方也没有
因为是一维问题，那个方向没有力
两类边界条件也是这样的
位移的边界条件也是y方向没有边界条件
只有x方向
在应力，在力的边界条件一样
y方向这个方程也没有
那么在y方向的剪切，这个地方也没有
那这样的话我们就可以得到一维问题的基本变量
就三个，ux，应力呢是σxx
那σxx我们前面说到了
在两个下标相同的情况下
我们往往可以只写一个σx，εx，这是应变的
同样三大类方程的平衡方程
我们就得到了一个
因为它是一维问题了，就没有偏导了
那就是[方程]
几何方程，还有物理方程
那么同样，得到的位移边界条件
我们左端点固定
就是说x等于0的时候这个位移是等于0的
力的边界条件是在右边
就x等于l的时候，这个应力等于外力，合力
除上一个相应横截面的面积
实际上也是要等于一个分布力
那么对于1D问题的三个基本方程进行求解
那么这个很容易求解
我们就可以得到σx应力要等于一个常数
应变呢也要等于一个常数除上一个E
位移呢也是等于前面一个系数乘上x再加上c1
那么这三个量的解呢我们可以看出
这里面有两个待定系数
一个是c，还有一个是c1
这两个待定系数由边界条件来确定
边界条件一个是左端点固定，位移边界条件
还有一个就是右边是满足外力作用的一个平衡关系
这样我们就得到三个变量
也是关于应力、应变还有位移的这么一个函数关系
那么同样，我们可以用材料力学来直接进行求解
那材料力学就是把整个对象拿来进行分析
由于它是一个等截面的均匀的这么一个拉杆
受右端的拉力
那么材料力学我们先做一个平面假定
也就是假定这个应力是均匀的
那这样的话，每个截面，它的应力也是均匀的
就等于外力除上一个横截面的面积
再由虎克定理，一维的虎克定理算出应变
然后再计算右端的伸长量
也就是把应变乘上一个杆的长度l
那么我们就可以得到右边的伸长量
那么我们比较一下材料力学按经验方法直接得到的结果
和我们上面按照弹性力学严格得按照三大类变量
三大类方程进行求解得出来的这个结果
我们进行对照，我们可以发现
第一呢，这个应力和应变这个结果完全一样
但是我们的表达呢在应力应变这个角度
弹性力学的解是一个分布
也就是说是关于x函数的这么一个分布
同时呢，这个位移呢也是一个分布
那只不过这个应力和应变它是均匀的
它是不随着x变化而已
那么位移呢它是随着x线性变化
那么材料力学得到的这个结果只是右端点它的伸长量
那么如果我们把弹性力学的位移场x取为右端点
也就是说令x等于l
那这个时候得到的右端点的伸长量
就正好和材料力学得到的右端点的伸长量是一样的
那么我们通过这个比较可以看出来
解析方法的求解过程非常严谨
而且得到的这些力学变量呢它是场变量
关于变形体内部任意一点是它的函数
第二个呢是经验公式
或者我们材料力学的求解比较简单
但是要进行一些事先的假定
比如均匀性假定
往往只能得到一些特定位置的力学变量
当然这些方法只能针对一些比较简单的一些情况
比如拉杆啊，还有扭杆啊
像这种简单形状，才能进行求解
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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--Doc I-1
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