当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第12讲 有限元分析的应用领域引论(1) > 12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理 > Video 12.3
弹塑性问题是指变形力学行为
呈现出超出弹性极限以后的塑性行为
这是我们由单拉实验可以得到
当超出弹性极限以后，它呈现出塑性行为
实际上在大多数情况下
进行结构设计的时候一般都是以
材料的弹性极限作为依据
当然还要考虑一定的安全系数
也就是说处于工作状态中的材料应该处于弹性范围
但是由于结构是非常复杂的
特别是有些结构由于有减重孔、工艺孔等原因
一定会产生一些局部的应力集中
这些区域的材料一般都会进入塑性
因此，要考虑弹塑性问题
另外还有一个方面，也要对材料的一些极限行为
比如材料进入塑性以后进行分析
以了解极端承载能力，并进行极限设计
使得结构的设计更合理、更安全
这种情况我们叫极限设计，也要考虑弹塑性问题
弹塑性问题的物理方程是一个关键
我们看看这个单拉实验
这个单拉实验首先是弹性
然后进入屈服极限以后就屈服了
那涉及到一个初始屈服的问题，就是屈服的条件是什么
材料屈服以后，它怎么变化，应变怎么增加
涉及到一个流动的问题
我们把这个称为流动法则
当进行卸载，然后再加载
这个时候新的屈服点比原来的屈服点更高了
我们把这种叫作强化
这种后续的屈服点强化的规律，我们叫强化准则
因此，我们把材料进入塑性以后的三个方面的准则
屈服准则、流动法则、强化准则要进行具体的塑性描述
同时要用单拉的结果
也就是说关于σx一维的情况
怎么来描述复杂应力状态σij的情况
首先看一下屈服准则
大量的实验表明
大多数材料的屈服条件与静水压力无关的
所以我们来分析一下一点的应力状态
这是σij，一点的应力状态
我们把它变换到主坐标上
也就是说在σ1，σ2，σ3这些面上是没有剪应力的
然后在这些主坐标的这些面上
我们分别做8个象限的等倾的面
由这8个等倾面组成的八面体我们称为等倾八面体
在等倾八面体的这些面上有一些特点
也就是说它的正应力就是静水压力
我们叫σ8，它就等于
在这个面上的剪应力，我们叫τ8
刚才说到了，由于屈服条件与静水压力无关
所以说这个面的特征是σ8，它是静水压力
因此，它的τ8很可能就是
决定材料是否产生屈服的屈服条件
我们把这个τ8表达出来就是
如果τ8作为屈服准则是可以的话
我们就可以写成τ8等于一个临界的屈服的剪应力τyd
我们再把τ8=τyd的屈服准则用到1D的单拉情况
1D单拉情况我们都知道，相当于拉伸到一个极限
它就屈服了
那就是σ1=σyd
这个σyd就是一个单拉的屈服极限
由于单拉时，σ2=0，σ3=0
我们代到基于τ8表达的屈服准则里面去
最后我们就可以得到基于单拉情况下的屈服应力的表达
我们可以看出来，这个时候的τyd
也就是说剪切的屈服的临界值等于
这样我们就把τ8的屈服准则里面的τyd作一个置换
把它换成单拉情况下的σyd
换了过后，我们就可以写出这么一个表达
我们把这个条件叫作初始屈服条件
它可以写成一般的函数关系
我们进一步可以定义屈服面的函数
关于塑性流动法则
它是确定塑性应变分量在塑性变化时的大小和方向
我们首先定义一个塑性势函数Q
这个Q如果取为屈服函数F
它就叫关联的塑性流动
如果不相等，我们叫非关联的塑性流动
大多情况下我们都是关联的塑性流动
就是取为屈服函数F
相应的分量就是沿着一个势函数进行法线增长，也就是说
前面要乘上一个塑性增长的乘子
我们分析几种塑性屈服以后的行为
第一种是屈服函数等于0，就是屈服了
这种情况就是继续塑性加载
第二种情况是F=0，屈服了，但是
这个时候是弹性卸载
第三种情况，屈服了，也就是F=0，但是
这又分两种情况
一种是理想弹塑性材料，它是塑性加载
对于硬化材料，它是中性的变载
强化准则它是描述屈服面如何改变
并且确定新的屈服面状态的描述方式
它分等向强化、随动强化和混合强化
在发生塑性强化的时候，材料的临界屈服应力
将随着塑性应变的积累而发生变化
我们把这种情况叫强化，也就是
这个κ是塑性功
它是应力和塑性应变增量的累积量
α是屈服面平移量，也叫作背应力
它是关于塑性应变增量的积分
当然前面要乘上一个因子c
有这么几种典型的强化方式
一个叫双线性随动强化
多线性随动强化
双线性等向强化
多线性等向强化
非等向强化以及Drucker-Prager模型
我们再考查一下，当后续的屈服点卸载以后产生的屈服点
两者之间的应力等于两倍的初始屈服应力
我们把这种情况称为Bauschinger效应
弹塑性问题的有限元分析原理也是分两种情况
一个是基于全量理论的有限元分析的这么一个表达
它是假定整个加载过程为比例加载
其结果只与状态有关，与加载过程无关
全量形式的本构关系我们可以把它写成
当然这个Dep就是弹塑性矩阵
它是和应变相关的
所以整个本构关系是一个非线性的关系
相应的我们可以得到有限元的列式就是
ΔPi是第i步的外载步长
Δqi是第i步的节点位移步长
Kep它是q的这么一个函数关系
这个函数关系表现在
这个D矩阵，也就是弹塑性的D矩阵
它是和节点位移，和应变状态是相关的
所以说这个K矩阵不是一个定常矩阵，为位移q的函数
第二种是基于增量理论的有限元分析列式
增量理论是要考虑真实的加载过程
也就是说变形结果与加载历史是有关的
增量形式的本构关系可以写成
这个Dep是和应力、应变状态有关的
对于所施加的外载增量
也就是说体积力Δb，外力Δp
我们分两步进行计算
第一步是进行初始计算
已有应力状态
它是处于平衡的
外载增量的虚功方程我们就可以写成下面的这个关系
同样，基于节点位移和应变的描述
我们进行N矩阵插值，以及几何矩阵插值
这样我们把位移的增量和应变的增量
表达成节点位移的增量
代到前面的虚功方程里面去
我们就可以得到有限元的方程
这个方程的K同样也是
这个地方的D矩阵是弹塑性的D矩阵
它是和这一点的位移状态是有关的
第二步，我们要进行应力平衡的校正计算
也就是说是在已施加外载步的前提下进行迭代计算
这个时候是没有外载增量，但是状态里面有一个τ
这个τ是在原来增量步的基础上有一个Δt的变化
在这个里面要进行一系列的迭代使得
它里面所施加的外力和内力之间要达到一个平衡
那么我们构建的相应的虚功方程是这样的
那么这个D要进行迭代调整
它是(t+τ)时刻的弹塑性矩阵
这样我们就得到有限元的列式，就是
注意，这个时候的K矩阵是和q矩阵相关的
这个q是在τ时刻进行调整的时候，它的位移的变化
这个时候Δp也是τ时刻的相关的变化
也就是说在这里面有一个内力和外力之间的一个平衡
当这两个达到平衡，也就是说ΔPτ要等于0
这个迭代就停止
这个时候就把每一次迭代的结果，把Δq求出来
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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--Doc I-1
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