当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第9讲 连续体结构的有限元分析(2) > 9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程 > Video 9.2
空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
首先是节点描述
我们看看这个单元，它有8个节点
当然为了推导方便
我们把它定义为正六面体
后面真正应用的时候还要做一些变换
和平面问题的矩形单元是对应的
首先，几何坐标
那么8个节点，每个节点都给出相应的坐标
也是x,y,z的，从节点1-8每个方向都有
对于节点位移
我们每一个节点有3个分量
一共有8个节点，那就是24个自由度
我们把它列出来
就是24X1的列向量
就是u1,v1,w1一直到u8,v8,w8
那对应着节点的位移
我们同样也定义相应的节点力
分别是Px1,Py1,Pz1一直到Px8,Py8,Pz8
那么基于节点描述以后
我们进行单元的场的描述
同样，单元场的描述涉及到
位移场、应变场和应力场
首先看位移场
那么位移场首先就是位移模式
我们把所有的节点的自由度分成三组
也就是说x方向的自由度、y方向的自由度
和z方向的自由度
那么在x方向的自由度有8个
我们用8个x方向的自由度
对x方向的位移场，也就是u(x,y,z)进行
同样，考虑两个原则
唯一确定性原则和从低阶到高阶
进行插值函数的位移模式的选取
我们看看，前面是完全的线性项
后三项是xy,yz,zx的交叉项
最后一项是xyz的交叉项
对于y,z方向的位移，情况是类似的
这24个待定系数
我们需要由节点条件来确定
节点条件就是从1号节点到8号节点
让位移场分别等于相应的节点位移分量
也就是ui,vi,wi
那我们就得到这么一个线性方程组
这个线性方程组对所有的24个待定系数进行求解
我们可以表达成节点位移的这么一个关系
也就是说用u1,v1,w1一直到u8,v8,w8
来表达这24个系数
那么我们重新写一下
写出来就是
对于x方向的位移分量就是
对于y,z方向也都是N1,N2,N3,N4
乘上相应的节点位移分量
我们把它写成矩阵形式
前面这个N我们把它集成到一起
就是3X24的形状函数矩阵
后面这个就是我们的节点位移列阵qe
对于位移场的矩阵形式
我们也可以看到
从N1,N2一直到N8
它分别是3X3的对应的分块矩阵
一共有8个分块
3X8=24，所以是24个
由于我们是正六面体单元
完全可以用拉格朗日插值
直接写出Ni的具体表达
基于位移场的描述
我们由几何方程就可以进行应变场的描述
同样也是一个算子矩阵
一个偏导作用在位移场上
我们就可以得到B矩阵乘上节点位移的列阵qe
再由物理方程
也就是说在应变的基础上
我们在前面乘上一个弹性系数矩阵
我们同样也可以得到应力场函数的描述
当然我们可以把D矩阵和B矩阵合到一起
写成应力函数的矩阵，叫S
基于三大类变量的描述
也就是说把三大类的场变量分别表达成
基于节点的描述，也就是qe的描述
那么前面分别乘的是
N矩阵乘上节点位移的描述就是我们的位移场
B矩阵乘上节点位移的描述就是应变场
D矩阵再乘上B矩阵再乘上节点位移的列阵
就是我们应力场的描述
基于三大场变量的描述
我们把它代到单元的势能表达里
也就是说势能是应变能减外力功
同样我们可以得到这么一个表达
同样我们取极值
最后我们就得到单元的刚度方程
这个时候的K矩阵是24X24
它具体的表达也是
那么单元节点的等效载荷同样也是
如果是体积力
同样前面要乘上一个形状函数矩阵的转置
在这个域里进行积分
对于分布力p
同样前面乘上函数矩阵转置
在所作用的这个面积上进行积分
那么我们讨论一下空间8节点正六面体单元的性质
看看位移场
那么位移场我们看一个，其实3个分量都一样
我们看看x方向的分量u(x,y,z)
我们从插值函数的选取
从低阶到高阶取了8项
那么可以看出它是完全的线性项加上交叉项
这个交叉有两两交叉还有三项交叉
对于应变场
同样我们把位移用算子来进行作用
也就是用几何方程来进行求一下
我们可以分别求出应变的各个分量
我们看一个x方向的分量εxx
求出来以后是等于
我们看看它实际上是一个不完全的线性项
对于应力场也是这样的
因为它是在应变场的基础上
前面乘上一个弹性系数的矩阵
所以它也是不完全的线性函数
那么我们可以看出来这个单元的性质是
位移场为完全线性加交叉项函数
当然它在x,y,z各个方向上
它是呈一个完全的线性变化的
对于应变场和应力场它为不完全的线性函数
那么空间8节点正六面体单元
对应于我们平面4节点矩形单元其实性质差不多
它比4节点四面体的空间单元的精度要高
同样，因为它是一个正六面体
它是一个很标准的形状
我们真正在用的时候还要进行一个形状的变换
以增强几何的适应性
对于空间8节点正六面体单元的MATLAB编程
同样我们要定义3个函数
Stiffness它是计算单元的刚度矩阵
Assembly它是进行单元的组装
Stress是计算单元的应力
对于Stiffness它要输入弹性模量、泊松比
要输入8个节点的坐标
它输出的是单元刚度矩阵
对于Assembly这个函数
它要输入单元的刚度矩阵k
输入单元的节点编号，也就是这8个编号
输出的是整体组装以后的刚度矩阵KK
对于Stress这个函数
它输入弹性模量、泊松比
输入8个节点的坐标
输入单元的位移列阵u(6X1)
输出单元中心的节点的应力Stress(6X1)
分别表达应力的各个分量
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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