当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第11讲 高阶及复杂单元 > 11.2 2D高阶单元 > Video 11.2
好，我们看看2D的的高阶单元
首先我们还是引入自然坐标
当然这是2D的
我们画一个三角形
节点分别为i,j,m
中间我们取一点P
从P分别连三个顶点
就划分出3个小的面积Ai,Aj,Am
我们把Ai/A定义为Li
把Aj/A定义为Lj
把Am/A定义为Lm
显然我们定义了三个坐标
面积坐标就是Li,Lj,Lm
这三个坐标实际上不是独立的，相加要等于1
这样我们把三个节点的坐标
用自然坐标写出来就是
i节点就是(1,0,0)
j节点就是(0,1,0)
m节点就是(0,0,1)
我们基于自然坐标来构建
以前我们做过的平面3节点三角形单元
3节点三角形单元每一个节点两个自由度
所以它一共有6个自由度
分别为u1,v1,u2,v2,u3,v3
我们以前做过的位移模式
在每个方向，我们分x方向的位移，叫u(x,y)
它有3个自由度来进行插值
所以它有3个待定系数a0,a1,a2
我们分别取常数项，一次项
我们用自然坐标来进行表达就非常简单
同样我们可以写出3项
这是对应的3项
我们分别写出它的形状函数和相应位移的关系，那就是
那这里面的N1就是等于我们自然坐标的L1
N2=L2，N3=L3
这只是我们写的x方向的位移
对于y方向的位移v(x,y)也是同样的
我们下面来构建一下高次的单元
首先来看看6节点的三角形二次单元
看一下这个单元，3个角点
同样我们在3条边的中点定义3个中点
它们相应的面积坐标我们就把它列到这
它的节点位移的列阵是这样的
由于我们有6个节点，每个节点两个自由度
所以它一共有12个自由度，所以是u1,v1一直到u6,v6
我们的位移插值模式，我们看看
每个方向可以取6个待定系数
我们可以从a1一直取到a6
分别对应着常数项、一次项和完全的二次项
它实际上是一个完全的二次多项式
同样我们也可以基于自然坐标
也就是用面积坐标来表达它的插值关系
表达出来一共是6项，它的插值函数是
它也是一个完全的二次面积坐标表达的多项式
同样我们把它写成
它的形状函数我们用自然坐标写出来
N1,N2,N3是3个角点的
N1的形状函数表达出来就是
2号节点、3号节点表达出来也是这样
它的每条边的中点的形状函数是N4,N5,N6
N4它就等于4L1L2
同样N5,N6也是对应的这么一个关系
我们再做一个10节点的三角形三次单元
10个节点我们是这样划分的
3个角点，每条边再加两个中间的节点
再加上一个整个三角形的中心的节点
一共是10个节点，每个节点两个自由度
一共是20个自由度
每个方向我们都用10个自由度来进行插值
这样就可以从低阶到高阶，利用唯一确定性的原则
我们可以得到完全的三次项
也就是从a1一直到a10
对应的阶次也是从常数项、一次项、二次项到完全的三次项
我们用自然坐标来进行表达也可以写成这样的形式
同样我们把它写成
这样我们就把对应的N1到N10的插值函数关系给写出来
这个插值函数关系写出来是对应着角节点是这样的
1、2、3节点的函数关系，写出来是这样的
对应着中心节点，也就是N10，写出来是这样的
对应着每个边的中间的节点
它的插值函数基于面积坐标写出来是这样的
前面我们介绍的都是三角形单元
我们看看矩形单元
矩形单元我们以前学的4节点矩形单元
我们现在学一个高次的矩形单元
我们假定在ξ方向上有r+1个节点
在η方向有p+1个节点
它组成一个点阵
我们对这个点阵的每个点进行插值
整个的位移模式可以写成从a1到ai
这个多项式也是从低次到高阶
最高阶我们可以写到
我们用Lagrange插值来写出它的形状函数
我们看看，在ξ方向的插值
我们由插值函数的性质
在第i点的形状函数要等于1
其它的节点要等于0
所以我们在ξ这个方向上就可以写出这么一个插值关系
它都是两两相乘
但是要去掉ξI这一项
同理在η方向上也可以进行插值
在η方向上我们有p+1个点
所以我们把ηJ这一项去掉
我们就写出这么一个插值的关系
我们把ξ和η方向的插值函数乘起来
就满足在我们指定的节点上为1
其它所有的节点上为0
插值函数性质的这么一个N的这么一个表达
就是Ni，它是i节点
i节点是对应着第I列，第J行这么一个关系
这样的话，ξ方向的一维的Lagrange插值
再乘上η方向的一维的Lagrange插值
就满足了形状函数的叫δij的基本条件
这个Lagrange插值的单元
它在每条边上的节点数和插值函数变化是协调的
也就保证了单元之间，函数是协调的
所以它是一个协调单元
我们再看看Lagrange矩形单元
4个节点的，我们叫线性单元
每一个方向3个节点的，我们叫二次单元
每一个方向4个节点的，我们叫三次单元
比如我们以三次单元为例
这个4X4的节点，r和p就对应着前面Lagrange插值
r和p是分别等于3
这样我们插值出来的完全多项式
是这么一个菱形的包含了低阶和高阶的
最多可以包含到ξ三次方和η三次方相乘
但是我们从这个菱形的插值多项式里来看
它完全的多项式实际上在这，只有三次
但是它最高阶可以达到6次
也就是ξ是三次，η也是三次
它相乘以后是6次
我们在完备性要求里提到的
要求取低阶到高阶，尽量取高阶的完全多项式
所以在这个多项式里，这个是三次单元
我们实际上完整的多项式只取到了三次
实际上它的形状函数里包含到6次
同样我们再把它扩展到(n+1)X(n+1)这么一个列阵的单元
也就是说r=p=n的情况
它的完全多项式是n次
它真正用的插值函数涉及到2n次
也就是涉及到ξ的n次和η的n次
因此我们可以简单分析一下
我们对于线性、二次和三次函数变化的Lagrange单元
刚才我们已经分析了
随着函数插值阶次的增高
必然要增加内部节点
而且我们是点阵的增加
但这些节点自由度的增加一般不能显著提高单元精度
其原因就是我们刚才分析的，它不是完全的多项式
我们希望尽量取完全的多项式
它有利于提高单元的精度
对于非完全多项式
它往往对于单元的精度提升作用不是太大
因此就有学者提出来
主要把增加的节点放在边上
也就是说我们取边节点的单元
我们把这种单元叫Serendipity单元
这种单元往往在实际应用中比
基于点阵插值的Lagrange单元用的更广泛
我们看看，最简单的Serendipity单元就是8节点的
如果按照Lagrange插值它应该是9个节点
我们现在全部把节点取在边上
第一步就是假定，先是4个角节点
它的形状函数，我们是按照常规的4节点先把它写出来
就是Ni，这个i分别是1,2,3,4
我们在1-2边增加一个5号节点
我们先做这个5号节点
当然我们后面还要做6、7、8号节点
5号节点的形状函数，我们取
它分别表示左边这条线和右边这条线
就是当ξ=1和ξ=-1的时候，它要等于0
另外我们还取一个1-η
它对应着上面这条边，就是η=1的时候
这个函数要等于0
我们取了这么一个相乘的函数
那就是在5号节点可以保证它是取值
而且在其它节点为0
我们首先构建了4个角节点，然后再增加了一个5号点
我们看看，这个时候写出它的位移场函数就是
我们考查一下，现在构建的这5个节点的形状函数的性质
在角节点上，1、2、3、4号，这个函数分别为1
其它地方是等于0
在5号节点处，我们把相应的坐标代进去
我们得到的值为
当然我们希望这个形状函数在5号节点处是等于u5的
所以说就多了
所以我们要进行一个补偿和调整
我们在已经构建的位移场的函数基础上把它补偿一下
也就是说在u5的地方减去
我们这样构造
构造过后就组成一个补偿以后的形状函数的情况
我们再来考证一下
在5号节点就满足等于u5的这么一个条件
同样对于另外的节点
也就是说6、7、8号节点
按照同样的补偿办法
我们分别来进行构建
这样就得到了从N1到N8的形状函数
我们验证一下这个所构造的形状函数的性质
这个形状函数在所指定的节点上是等于1
在其它的节点上都等于0
同样把这个形状函数全部加起来
它也满足等于1这么一个条件
同样我们来构造三次的Serendipity单元
同样也和三次的Lagrange矩形单元进行一个比较
我们看看，三次Serendipity单元每边是4个节点
我们一共有12个节点
我们构造的多项式是这么一个情况
如果是由三次Lagrange矩形单元的话，它需要16个点
它的完全多项式也是三次
但是它的最高多项式可以达到6次
这就说明Serendipity单元对于完全多项式以外的高阶项
使用得比较少
这就使得当节点数一定的时候
Serendipity单元的精度是比较高的
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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