当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第8讲 连续体结构的有限元分析(1) > 8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程 > Video 8.1
同学们好
首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们学习了
局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
局部坐标系中的平面纯弯梁单元的构建
及MATLAB编程
局部坐标系中的一般梁单元的构建
梁单元的坐标变换
分布力的处理
最后我们给出了门型框架结构的实例分析
这一讲我们将介绍
平面3节点三角形单元及MATLAB编程
平面4节点矩形单元及MATLAB编程
轴对称单元
分布力的处理
平面矩形薄板分析的MATLAB编程
最后我们给出平面矩形薄板的
ANSYS分析实例
平面3节点三角形单元
是平面问题里面最简单、最常用的单元
首先我们看一下节点描述，节点的基本变量
几何参数，有三个节点
节点1，坐标是x1,y1
节点2，x2,y2
节点3，x3,y3
同样，每一个节点有两个位移分量
u1,v1,u2,v2,u3,v3
我们把这6个分量写成一个位移列阵qe，是6X1的
同样对应着节点位移的位移分量
我们也有节点力的分量
那对应为Px1,Py1,Px2,Py2等等
这个Pe也是一个6X1的
这个平面单元的等厚度为t
基于节点描述，我们要进行单元的场描述
同样单元的描述我们有位移场描述
还有应力场、应变场
位移场，我们也是这样
把单元的节点位移分成两组
一个是x方向的位移u1,u2,u3
还有y方向的位移v1,v2,v3
我们分别对x方向的位移场
也就是u(xi,yi)
还有y方向的位移场分别进行插值
这样我们分别有3个待定系数
一共有6个待定系数
确定的原则也是从低阶到高阶、唯一确定性原则
再把单元的节点条件
也就是说1号节点、2号节点、3号节点
让单元的位移场分别等于相应的节点位移
这样6个条件来确定6个待定系数
确定以后再把这个确定好的待定系数
代回原来的位移场函数
那么我们分别可以表达成
同样v(x,y)也可以表达成
这个N1，N2，N3的函数
实际上是关于x,y的线性函数
具体的ai,bi,ci的值
是由1号节点、2号节点、3号节点的坐标位置来求出的
那么我们把位移场函数写成一个矩阵形式
把它写到一块，我们就得到
这么一个基于节点位移描述的
前面乘上一个形状函数矩阵这么一个表达方式
前面的形状函数矩阵是2X6的
分别是N1,N2,N3，分别是这么一个2X6的形式
那应变场，我们由几何方程
我们把几何方程写成一个矩阵形式
同样，我们把u和v写出来
再把前面写成一个算子矩阵
那么这个偏导算子矩阵就是这么一个3X2的偏导算子矩阵
我们再把刚才已经得到的位移场的函数描述
也就是说
我们把它分别代进来
前面这个偏导算子矩阵对应着我们的位移场
进行一个作用
这样我们就可以写出来是一个B矩阵乘上一个q矩阵
这个B矩阵是一个3X6的
我们称为几何矩阵
我们也把N矩阵代到这个里面去
用算子矩阵对它进行作用
分别进行计算，实际上就是求导
这样得到的B矩阵
我们就可以把它写成B1,B2,B3的形式
那么B1,B2,B3的形式分别也是由前面
由三个节点的坐标位置所确定的那几个系数
也就是说bi,ci还有三角形的面积来确定出来的
这个Bi是个3X2的矩阵
对于应力场
我们由平面问题的物理方程
同样也把应力的三个分量写成一个列向量
写成一个矩阵形式
它和应变的关系
这个就是平面应力情况下的弹性系数矩阵
我们把这个矩阵叫D矩阵
它是一个3X3的
这个应变我们也写成一个向量
我们前面已经得到了应变的表达
也就是说它可以表达成节点位移的矩阵形式
把它代入以后，也就是
把这前两项合到一块，写成一个S矩阵
S矩阵我们称为应力函数矩阵
这个D矩阵我们是平面应力的情况
前面我们也知道了
如果我们要把它变成平面应变
就把里面的弹性模量E改为
把平面应力问题的μ改为
其它方程完全一样
这样就变成一个平面应变的问题
在应用最小势能原理来计算它的应变能减外力功
就得到这个三角形单元的势能表达
同样我们前面已经得到了应力和应变的表达
还有位移的表达
我们把这三大类变量都表达成
基于节点的表达
也就是都基于q的表达
我们把它分别代入以后就可以写出来
这么一个表达式
其中这个K就等于
这个K矩阵是一个6X6的，B矩阵是一个6X3的
D矩阵是弹性系数矩阵是3X3的
这样就得到一个6X6的
由于我们是一个平面应力问题
它是一个薄片，厚度为t
所以对Ω这个域进行积分就变成
dA乘上一个t，就是对三角形的面积进行积分
同样得到的等效载荷也是这样的
如果我们这个系统
这个单元里面有体积力b一横
有面积力p一横
那么它就根据前面的外力功这么一个原则
我们就可以得到N矩阵转置乘上一个体积力的矩阵
对这个域进行积分
同样N矩阵的转置对面积力进行一个积分
这样就得到一个等效的载荷
我们再看看K矩阵
K矩阵我们再细化
由前面得到的B矩阵
我们代入以后
由于这个B矩阵它是一个常系数的矩阵
所以这个积分就直接乘上一个三角形的面积
那么这个K矩阵得到的系数就是这么一个6X6的矩阵
这个krs具体的计算的一些系数
我们就可以得到
它每一个是一个小的子矩阵2X2的
我们分别算出来里面的k1,k2,k3,k4
k1,k2,k3,k4的具体的计算就是由br,bs
这个b和c的计算见前面我们已经得到的表达
由最小势能原理
我们要对所得到的势能取极值
我们所有的这些量都表达成节点位移的变量表达
所以取极值也是让系统的势能对节点位移取极值
也就是说对节点位移q求一阶导数
让它等于0
这样我们就得到这么一个刚度方程
这个刚度方程是
这个节点力实际上是一个等效的节点力
分布力可以通过等效的关系来进行计算
这个K矩阵的计算是等于
我们对所构建的平面3节点的三角形单元
进行一个讨论
首先我们看三大类变量的性质
我们前面构建的位移场u(x,y)
它是一个关于x,y的线性函数
v(x,y)也是关于x,y的线性函数
对于应变场
我们把位移的线性函数代入到这个算子里面去
我们进行计算
应变场得到的εxx它也是等于一个常数
εyy也是一个常数
γxy也是一个常数
应力场是在应变场基础上
前面乘上一个弹性系数矩阵
所以说应变场为常数
应力场也是为常数
我们看看这个单元的性质
第一就是单元内的应力和应变都为常数
所以我们把3节点三角形平面单元也称为
常应变三角形单元
英文的缩写就是CST
它叫constant strain triangle
第二个性质就是单元的节点位移
我们是在整体坐标系下给出来的
也就是说每一个节点都给了一个
x方向的位移和y方向的位移
所以说在平面3节点三角形单元里面
它就没有针对节点位移的坐标变换问题了
第三个问题就是由于应变场和应力场都是常数
所以对于实际问题比较复杂的一些区域
如果用3节点的三角形单元来进行离散
那么它的误差会比较大
因为它是常应力、常应变单元
它是常数，不变化的
因此在这些梯度变化大的区域
一定要用高阶单元
或者用更多的3节点三角形单元
通过单元的数量来弥补精度的不足
对于平面3节点三角形单元
我们也给出相应的MATLAB编程的实现
同样也有三个函数
一个是计算刚度矩阵的Stiffness
另一个是进行单元刚度矩阵组装的Assembly函数
另外要计算单元的应力，叫Stress
对于Stiffness这个函数要求输入弹性模量E
泊松比，还有厚度
输入三个节点i,j,m的坐标
同时还要输入平面问题的性质指标
比如平面应力还是平面应变
这个函数输出的是单元的刚度矩阵k
它是6X6的
对于Assembly函数它是进行单元刚度阵的组装
它要求输入单元刚度矩阵k
输入单元的节点编号i,j,m
最后输出的是组装后的整体刚度矩阵kk
对于Stress函数
它是计算单元的应力
它要求输入弹性模量、泊松比还有厚度
以及三个节点的坐标
还要求输入平面问题的这个性质的指标参数
比如平面应力还是平面应变
要求输入单元的位移列阵
它输出单元的应力Stress，是3X1的
由于它是常应力单元
所以它的单元应力分量是Sx,Sy,Sxy
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
--Doc I-5
-【应用建模Project6】热应力分析：桁架结构的温度及装配应力分析
--Doc I-6
-【高级建模Project7】结构的概率：大型液压机机架的概率设计分析
--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
