当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第11讲 高阶及复杂单元 > 11.4 基于薄板理论的弯曲板单元 > Video 11.4
以前我们学了细长梁的单元，我们叫梁单元
下面我们来学习一下
基于薄板理论的弯曲板单元
首先我们看看基本变量和方程
这是一个薄板
这个薄板z方向是厚度方向
x方向和y方向是它的面内的方向
这个薄板有几个特征
它的厚度远小于其它两个方向的尺寸
这就是薄板的一个特征
那么我们要引入一定的假设
对厚度方向的特征进行简化
这个简化我们叫Kirchhoff假定
由于薄板中要保持转角的连续，所以它要承受弯矩
因而薄板问题是一个C1问题，它要保持转角的连续性
我们看看，对薄板的受力问题进行简化的
Kirchhoff假定
第一条就是薄板的中面法线变形后仍然为直线
并且厚度方向的正应变很小，可以近似为0
这对应着我们细长梁的直法线假定
也就是说
第二个假定是薄板中面没有横向位移，则会导出
这是在中面上
那么离开中面的位置上z，它有u和v的位移
这就相当于是我们的直法线假定了
第三个假定就是应力σzz引起的变形很小，可以忽略
我们看看，薄板的各个不同的横截面上的应力情况
这个相应的应力有σxx,σyy,τzx,τzy
我们把每一个面上的应力进行合成以后就可以得到
Mx,My,Mxy,Myx，另外还有Qx,Qy
它分别对应着各个侧面上的弯矩、扭矩和剪力
我们把三大类变量归纳一下
位移就是中面上的位移，就是w(x,y)
它是在z=0这个中面上，它作为一个基本位移
u和v满足直法线假定，也就是分别等于
应变在前面的基础上求一个一阶导数，这样就可以得到
应力是在应变的基础上乘上一个相应的弹性系数矩阵
我们再看看三大方程
平衡方程
平衡方程我们也是取出中间的一个微元体
就是dxdy，连厚度取完就是h
取完以后我们建立一个垂直方向的平衡
我们就可以得到
也可以把它写成弯矩的平衡关系
其中的D0等于
这个μ是泊松比
它为薄板弯曲问题里的弯曲刚度
物理方程，这就是广义虎克定律
写出来就是这样的
那么我们把物理方程
分别沿着面上把它求一个合力
这样我们可以把物理方程
写成一个广义力与广义位移的关系
这个M就是
D是弹性系数矩阵，它等于
几何方程是和应变的定义是一样的
实际上就是应变的表达式
边界条件我们有三种情况
第一种是S1
边界上是要等于给定的挠度和转角
这个n是边界法线的方向
在S2上面要等于指定的挠度和指定的力矩
n也是边界的法线方向
在S3边界上，它也是要等于给定的力矩和横向载荷
这个n为边界的法向，m为边界的切向
Qn为边界截面上单元长度的横向剪力
我们定义薄板的总势能
这是对dxdy面上进行积分
同样对Qn，这是给定的边界力
乘上相应的挠度
力矩Mn乘上相应的转角
这个地方我们看看
к实际上由三项组成
就是εx,εy,γxy
这三项分别又是等于
这个地方的w就是我们的基本变量
所有都可以表达成薄板中面的挠度w
也就是z=0这个位置的挠度
它作为我们薄板问题的基本变量
在基于三大类变量和三大类方程描述的基础上
我们来构造薄板的板单元
我们来看看，4节点矩形的薄板单元
首先4个节点
每个节点我们有3个自由度
也就是说挠度w，另外绕着x轴的转角
和绕着y轴的转角
我们把每个节点的自由度表达成qi
它有3项，就是wi,θxi,θyi
由于一共有4个节点，所以一共有12个自由度
我们的基本变量就是w，就是中面的挠度
12个节点我们可以确定12个待定系数
我们分别取为，从a1一直取到a12
前面有一次项，完整的二次项，完整的三次项
另外还有两项是四次项，是不完全的
当然我们取这两项是考虑了一个对称性
所以分别取
按照收敛性准则一，完备性要求
就是说要有刚体位移，要有常应变
那么我们从a1到a3的完全一次项就是描述刚体位移的
这个是完全的二次项
它可以描述薄板弯曲问题的常应变
所以它是满足完备性的要求
我们来考查一下收敛性准则二
也就是连续性的要求
假定有两个单元，①号单元②单元
我们分别要考查这两个单元交界
这个交界有沿着y轴的交界，还有沿着x轴的交界
这两个交界，我们看看它的挠度的连续性的问题
我们首先考查一下沿着y方向的交界
也就是沿着L1和L2这条线
我们看看这条线的坐标就是x=0，就是沿着y轴了
我们把这个x=0代入w函数里面去
这样我们就得到了这么4项
同样我们看看，沿着这个方向的转角是
在x=0上，这个时候的转角是
这个里面的待定系数我们看看是a1,a3,a6,a10
这4个系数完全要用1号节点的函数值
也就是(w1,θx1)和2号节点的函数值(w2,θx2)唯一确定
我们看看，它确实能唯一确定
所以沿着L1和L2这个接线上应该没有问题
我们再考查一下沿着x方向，也就是沿着L3,L4这两条线
它的连续性的问题
同样我们对这两条线的交点A点
考查一下它的一阶导数，也就是
我们看看它是怎么过渡
我们一阶导数求了过后就得到这么4项
同样这4个系数也要由节点1和节点2的节点值来确定
对于节点1和节点2的自由度
每个节点有3个自由度，就是(w1,θx1,θy1)
2号节点也是3个
那么在前面的L1和L2的交线处我们已经用了4个条件
分别已经用了(w1,θx1)和(w2,θx2)
这个时候节点条件里面只剩下θy1和θy2
由θy1和θy2不能确定刚才我们考查L3和L4在交线处
在A点处的那4个待定系数
不能唯一确定
所以我们就可以简单归纳一下
在单元交界面上w是连续的
但单元之间的法向导数连续性一般不能满足
所以这种单元是非协调的
但由于这种单元能通过拼片试验
所以当单元尺寸，或者是网格不断缩小的时候
计算结果还是可以收敛于精确解的
我们再研究一下3节点三角形的薄板单元
3个节点，每个节点3个自由度
w,沿着x和y方向的偏导
这样我们3个节点一共是9个自由度
3节点三角形单元
我们由9个自由度可以确定9个待定系数
而一个完全的三次多项式要包含10项
也就是说如果取完全三次多项式
就是从a1一直取到a10
我们唯一性确定原则里面只能确定9个
所以中间有一个问题
我们考虑一个对称性
我们把这个完全三次多项式的10项里面的两项
这两项我们把它合到一块，也就是令a8=a9
这样我们把这两个自由度就合成一个
插值的基底函数就分别为一次项、二次项，三次项是
这样我们就把它写成这么一个插值的关系
其中这个a是9X1的
这就是从a1到a9的待定系数
我们把节点条件代入到插值关系里面去
就可以得到这么一个节点的位移要等于这么一个插值关系
这个表达是通过H矩阵来转换的
H矩阵就是由单元3个节点的几何位置来确定的系数矩阵
我们由上面这个方程要求出a
再代入的形状函数矩阵那个方程里面去
求a的时候，要对H矩阵求逆
H的行列式是这么一个表达
从行列式可以看出来
当三角形的高满足一个关系，也就是说
这个行列式就为0，它就不能求逆
这种情况也包含等腰直角三角形
不能求逆就意味着这种类型的单元有缺陷
其原因就是前面强行令一个三次项
令它们的系数相等
就是硬让它们相等
所以这种具有“零函数”的单元是一个“亏损”单元
这个困难可以通过引入面积坐标的方法加以克服
将薄板的挠度用我们面积坐标
就是说L1,L2,L3来进行表达
那么我们可以取出9项
那么这是一次项，这是三次项
其中在三次项中引入了一个系数c
由于这个函数不是完全的三次式
所以不能保证w满足常应变的要求
但是当c取1/2的时候
前面所取的表达式正好就满足常应变
所以我们就把c取为1/2
这样，我们经过推导可以得到
3节点三角形薄板单元的形状函数矩阵是这样的
这个是1X9的，里面分别是N1,N2,N3
N1,N2,N3具体的表达是3项
N1基于面积坐标的表达是这么一个关系
对于N2和N3也可以通过上面N1表达的下标的轮换来得到
上面这个表达式的bi,ci
是等于三个节点坐标的这么一个关系
我们把所构造的常用的其它情况下的薄板单元
我们把它列到这
我们看看，这是一个ACM非协调单元
它是4节点的，每个节点取3个自由度
它一共有12项，有12个待定系数，从a1到a12
它的位移模式是这样一个关系
这是BFS-16协调单元
它是4节点，每个节点取的自由度是
另外它还加了一个
这个里面的插值函数关系要取为Hermite插值关系
BFS-24高精度的协调元
它每个节点的自由度取为
然后把两次偏导数取全了
也就是说刚才只取了一项
现在把两阶偏导也取上
每一个节点一共有6个自由度
所以4个节点一共24个自由度
同样也选取Hermite插值多项式
3节点三角形薄板单元
有Tocher单元，我们叫T-9单元
这就是我们前面介绍过的
每个节点有3个自由度
同样我们取9项
它不是一个完整的三次项
也就是说这两项是合到一块，把它耦合起来
Tocher(T-10)非协调元
它取10项，每个节点是3个自由度
实际上它只有9个自由度，但是取了10项
它利用里兹法把a9压缩掉
Adini(A-9)非协调元
每个节点3个自由度
它在完整的三次多项式里面
把交叉项xy忽略掉
原来是10项，现在就取为9项
cowper(C-18)协调元
每个节点自由度是取6个
3个节点，所以一共是18个自由度
但是它取了21项
它完整地取了一次项、二次项、三次项
四次项还有五次项
一共取了21项
那么它通过施加3个约束方程
把21个待定系数压缩为18个
这样就可以满足唯一确定性的原则
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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