当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第8讲 连续体结构的有限元分析(1) > 8.3 轴对称单元 > Video 8.3
轴对称单元是来处理轴对称问题的
实际上轴对称问题是一个三维问题
但是由于轴对称
也就是说它的几何形状、约束条件，还有载荷
它对称于某一个固定的轴
所以使得这个问题大大简化
轴对称问题使用的是柱坐标，也就是r,θ,z
取出来的微小dr,dθ,dz
我们来看一下，这是一个轴对称问题
一个回旋体
它任意一个截面取出来
我们把它划成单元
这个单元很像平面问题里的单元
所以轴对称问题和我们平面问题的单元
有很多相似的地方
我们看看基本变量
轴对称问题的三大类变量
位移，它本来有三个位移分量
也就是说r方向的位移
z方向的位移以及转角的位移uθ
由于是轴对称，所以uθ=0
它非零的变量就是ur和w
对于应变，本来有6个分量
关于θ相关的应变γ都为0
所以它只有4个应变分量
对于应力也是这样的
关于和θ相关的剪切应力都等于0
所以说只留下4个非零的应力分量
我们看看它的平衡方程
平衡方程构建出来是这样的
几何方程是
这三个分量和我们平面问题里的几何方程非常类似
当然它还有一个εθθ，这个没有偏导，它是
这三个带偏导的分量和我们平面问题基本一样
物理方程
它完全按照3D问题的物理方程来的
同样主伸长量还有一个泊松效应
我们看看3节点的三角形轴对称单元
轴对称问题我们画出来
在一个横截面上它是一个3节点的单元
但它实际上是一个环形的单元
因为它对称于z轴
所以它绕z轴要转一圈
一定要注意轴对称单元一定是环形单元
节点变量
我们把一个截面取出来
同样我们3节点问题也有3个节点的坐标叫ri,zi
每一个节点沿着r方向有一个分量
沿着z方向有一个分量
所以一共3个节点6个分量
这样我们写出来的节点位移的分量也是6个
节点力的分量对着我们节点位移的分量
有个对应关系
有了节点的描述，我们来进行位移场的描述
对于3节点的三角形轴对称单元
我们按照r方向和z方向把它分成两组
同样我们分别用三个待定系数进行描述
它的位移模式也是从低阶到高阶
唯一确定性
这样的话一共有6个待定系数
它的位移模式和我们平面问题的三角形单元位移模式
完全一样
同样用节点的插值条件我们可以写出
位移场的描述，我们写成矩阵形式
一样也是一个N矩阵乘上一个节点位移的列向量
对于应变场
我们要用轴对称问题的应变分量的具体的表达
那么它分别对于r方向的位移分量
和z方向的位移分量分别有这么一个算子矩阵的作用
同样我们把算子矩阵作用在位移场的函数上
我们把位移场用前面已经表达的
形状函数矩阵乘上一个节点位移来表达
这样我们就得到了B矩阵乘上一个q矩阵
其中B矩阵就是几何方程的算子矩阵
作用在形状函数矩阵上
我们看一下，这就是一个4X2作用在2X6上面
它是一个4X6的矩阵
对于应力场也是这样的
我们用物理方程
我们应力的分量也是4个
应变的分量也是4个
那么在轴对称问题里面
我们有相应的应力应变关系的弹性系数矩阵
这个D矩阵，它是一个4X4的
同样我们也可以得到基于节点位移描述的
这么一个应力场函数的描述
其中这个S矩阵等于D矩阵乘上一个B矩阵
它叫应力函数矩阵
有了应力、应变还有位移的描述
我们可以来计算这个单元的应变能和外力功
应变能可以表达成
外力功就是
由最小势能原理
我们对单元的势能取极小值
也就是说让П对于我们节点位移取一阶导数
让它等于0，我们就可以得到刚度方程
这个刚度方程是
这个K矩阵是个6X6的
我们看看这个K矩阵等于
对整个环形单元进行积分
我们看看这个环形单元的微小体
它是等于rdθdrdz
对横截面面积，再对一个环形0到2π进行积分
我们对dθ在0到2π进行积分，它就是2π
这样我们就得到
对于横截面的3节点的三角形面积进行积分的这么一个表达
同样，对于单元的等效节点载荷
一样的，本来是一个体积分加一个面积分
那么体积分和面积分我们分别用
轴对称问题环形的这么一个环形体
或者环形的一条线来进行积分
同样也可以得到
对于4节点矩形环形单元
同样，我们取出任意一个截面，它是一个矩形
也是由4个节点组成
这4个节点分别有ri,zi，i分别是1,2,3,4…
同样，每个节点有两个自由度
或者说两个位移分量
一共有8个位移分量
也就是说我们的节点位移是8X1的
对应着节点位移我们有节点力，也是一个8X1的
位移模式，由于是4个节点
所以关于r方向的位移和z方向的位移
分别取4项
从低阶到高阶，一样
我们可以取出关于r和z的完全的线性项
加上一个交叉项
和前面的平面问题的矩形单元完全一样
我们也可以构建出类似的单元刚度方程
那么在轴对称问题的4节点矩形环形单元里
我们看看，单元刚度矩阵是关于dΩ的计算
同样它写成
这个dθ是关于整个环，也就是0到2π进行积分的
所以我们把它写出来就是
关于横截面的环形单元的面积进行积分
对于等效的节点载荷也是这样的
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
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--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
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-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
