当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第11讲 高阶及复杂单元 > 11.1 1D高阶单元 > Video 11.1
同学们好
首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们学习了
节点编号与存储带宽
形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
边界条件的处理与支反力的计算
位移函数构造与收敛性的要求
C0型单元与C1型单元
单元的拼片试验
有限元分析数值解的精度与性质
单元应力计算结果的误差与平均处理
控制误差与提高精度的h方法和p方法
这一讲我们将讲解
1D高阶单元
2D高阶单元
3D高阶单元
基于薄板理论的弯曲板单元
子结构与超级单元
1D高阶单元，我们首先引入一下自然坐标
对于1D问题，我们设1号节点、2号节点
这个长度是l
我们中间设一个P点
P点距2点是l1,距1点是l2
我们定义L1这个坐标是l1/l
L2=l2/l
这样我们就定义P点的坐标是(L1,L2)
显然有L1+L2=1
我们用(L1,L2)来定义P点
这就是我们1D问题的自然坐标
我们看看，以前我们做过的一次杆单元
也就是两个节点，1号节点、2号节点
它的坐标用L1，L2来定义就是(1,0) (0,1)
节点位移还是一样，u1,u2
它的单元位移模式，同样是有两个节点条件
我们确定两个待定系数a1+a2x
如果我们用自然坐标来定义，那就是
同样，我们也可以把它写成
这个形状函数N矩阵，它有N1，N2
N1，N2我们用以前的x坐标来定义的话就是
我们用自然坐标来定义这个形状函数
N1就是L1，N2就是L2
大家看一下，这个L1，L2的坐标实际上就是
形状函数里面的N1，N2
这样就非常简单
对于二次杆单元，我们看一下
它有3个节点，1号节点、2号节点、3号节点
它由自然坐标来描述
1号节点就是(1,0)，3号节点是(0,1)
2号节点在中间，它是(1/2,1/2)
同样，我们节点的位移列阵是u1,u2,u3
以前我们用x坐标定义
同样它是3个节点条件可以有3个待定系数
如果我们用自然坐标L1，L2来定义的话
我们同样也可以写出它的待定系数是
同样我们也可以把它写成
把这个形状函数集成一个形状函数矩阵
以前我们基于x坐标的话，我们可以写出来
同样，N2,N3也都可以写成x坐标的表达
我们用自然坐标L1和L2来写这个形状函数
对于三次杆单元，它有4个节点
它的自然坐标是
(1,0) (2/3,1/3) (1/3,2/3) (0,1)
它的节点位移是u1,u2,u3,u4
同样我们用x的坐标来写的话是4个待定系数
我们用自然坐标L1和L2来写也可以表达成4项
同样，这边是形状函数的表达N1,N2,N3,N4
是用x坐标表达的
这边是用自然坐标来进行表达的
我们再进一步推广到一般的高阶杆单元
假定是具有n个节点的1D杆单元
那么它的位移模式是
根据形状函数矩阵的性质
δij就是当i=j的时候它是等于1
当i不等于j的时候它是等于0
同样，所有的Ni加起来应该是等于1的
这个Ni我们可以用Lagrange进行插值
可以得到它是一个n-1次多项式
我们用无量纲的坐标来表达，就是用ξ来表达
它就是这么一个两两相乘的组合
上面是（ξ-ξj)，下面是(ξi-ξj)
分别要进行相乘
前面我们介绍的是C0单元
也就是不涉及到节点的转角
我们再看看，我们要涉及到转角
甚至是高阶的节点的导数的单元
那么我们要用Hermite插值
我们把这种单元叫Hermite单元
Hermite多项式可以用来描述
具有p阶连续的导数关系的表达
那么我们以前面学过的两节点的梁单元为例
两节点的梁单元实际上是要求C1连续
也就是说要求有导数
同样，两个节点，每个节点两个自由度
就是挠度和转角，一共是4个自由度
同样我们可以写出4项
我们把它用Hermite多项式来写
我们看一下，Hermite多项式是这样表达的
节点数是n，分别从1到n这么一个变化
还有一个是导数的变化
导数的阶次是p
对于一般的C1问题，p=1
同样对于p，k是它导数变换的指标数
也就是从0变到p
这样我们就可以得到，它为0的时候就是我们的节点的挠度
为1的时候就是它的一阶导数，就是转角
对于高次的连续的Cp单元的话
实际上这个p还可以大于1
我们看看，还是我们学过的两节点梁单元
我们用Hermite多项式写出来是这么4项
也就是说是0阶导数，就是我们的v1，就是挠度
这个实际上是一阶导数，1号节点的
也就是θ1
同样，后面两项也是对应的
我们看看
这一项实际上就是我们针对v1的形状函数
实际上就是N1，它是等于
这一项是针对一阶导数，也是针对1号节点的
它是针对我们以前所说的θ1，它的形状函数是
这是N3的，也就是针对v2的形状函数，它是等于
它是针对θ2，也就是一阶导数在2号节点的形状函数
它具体的表达是
我们把这4个Hermite函数画出来
这个函数就是针对v1的那个N1函数
我们看看，它实际上是在1号节点挠度为1
其它自由度，也就是说在这一点的转角为0
在2号节点处，它的挠度要为0，转角为0
这就是我们前面说的形状函数的性质决定的
同样，我们看看，针对θ1的函数N2
它是在1号节点的一阶导数为1
在其它对应的自由度为0
我们再看看N3
N3在Hermite插值函数是
同样它是在2号节点的挠度为1
其它对应的自由度为0
N4对应的Hermite插值函数是
它是在2号节点的转角要为1
其它对应的自由度为0
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
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--Doc I-8
