当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第4讲 针对复杂几何形状变形体的力学描述(2) > 4.3 平面纯弯梁的描述及求解 > Video 4.3
下面讨论平面纯弯梁的描述
我们首先考虑一个简支梁
这个简支梁是一个长度为l，高度为h，厚度为b
那么上面作用有均布载荷，叫p一横
左边和右边，简支
那么我们可以用两种建模方法来描述它
第一种是通用建模方法
也就是前面我们介绍的内部加表面
内部呢可以取出一个微元体
也就是dxdy_t
这个地方呢，厚度就是b
来进行微元体的分析
来建立最一般的三大类变量、三大类方程
这就是我们通用的建模方法
另外呢，由于我们这个对象
假定是一个细长梁，又是一个平面梁
那这种情况就是等截面
那么我们可以针对它的特征
又是细长、又是等截面
这样的话，来进行一个等效的建模
我们把这种等效的建模叫特征建模方法
它是一种简化方法
那么这种特征呢就是细长
那么我们只用沿着x坐标来描述来刻画它
这个自变量就变成一个只变x
那同样我们的这个变形
它主要是在承受载荷以后呢它就是一个弯曲
弯曲呢就是有一个挠度
那么这个挠度呢，它就是关于y方向的一个分量
所以我们就完全可以只用挠度来描述它的位移场
当然我们要进行这样的特征就要进行简化
这个简化呢就是小变形、还有直法线假定
那么下面我们用特征建模的方法来进行一个分析
那么对于这个简支梁
我们从中间，x坐标的一个位置处，切出dx这一段
那么我们把这一段切出来
我们通透的切出来，也就是沿高度方向完整的给它切下来
就是上面还带着有分布力，也就是px一横
那么在切下来的两个侧面上
我们把力合成一下
就是说它有一个弯矩，还有一个剪力
同样随着dx的变化它有一个弯矩
和剪力它有一个增量
当然我们要假定
它的应力呢沿着高度方向是一个线性分布
实际上这就是我们后面要讲的直法线假定
那么我们把这个特征建模叫做
具有全高度梁的dx_b_h
什么意思呢
dx就是取出这么一个宽度
_b呢就是厚度方向完全把它取下来
这个_h呢就是沿高度方向完全把它取下来
那这样我们就用三大类变量来描述它
这样就比较简单了
我们在位移变量里面我们就用中性层
也就是说中间没有拉伸也没有压缩的这么一层
作为它的位移的，y方向挠度的这么位移的描述变量
那么我们把这个v写成x的函数
同时要指明一下它关于y呢是y带三角这个是等于零
它是表明是中性层
同样应力呢，我们也是σx，xy的函数
εx，是xy的函数
那么其他的应力分量很小，我们一般不考虑
还有呢就是要满足直法线假定
我们后面要给大家一个具体的推导
那同样我们取出来的这个微段
来推导三大类方程
同样它也是一个微元体
这个微元体呢也有一个x方向的合力平衡
y方向的合力平衡，还有力矩平衡
那么在x方向的合力平衡的话
我们就可以写出来
因为我们的应力σx和弯矩呢要达到一个平衡
所以我们就取出一个应力针对中性层求矩
得到的弯矩的平衡，这是x方向的平衡
在y方向，我们同样，Q，剪力
还有在剪力右边还有一个剪力的增量
与上面的压力，上面的这个分布力进行一个平衡
我们就可以得到dq加上一个px，乘上一个dx等于零
那这样的话我们就可以得到
这样的一个关于剪力的平衡方程
那同样我们对任意一点求力矩的平衡
那同样我们可以得到dm减去Q乘dx要等于零
那这样的话我们得到一个Q等于dmdx
这是力矩的平衡
在几何方程这一块
那么我们取出一个微元体
这个微元体我们假定一个中性层
把坐标取在中性层
基于中性层的这个坐标我们叫作y一个三角
假定它的变形呢是沿着有一个圆心做了一个弯曲的变化
也就是说做了一个圆的这么一个变形
这个圆的变形呢，在里面的纤维我们取出一层
也就是说在y这个位置呢取出一层
取出这么一层纤维
那么变形前的这一层呢是中性层的这一层
它是叫ds
这一层呢是变形以后
那么我们来求一下相对于y这一层的相对伸长量是多少
那么它就等于这一层的长度减去变形前的长度
因为变形前是直的，就是ds
再除上一个变形前的长度
这样我们叫相对伸长量
这样的话我们就做一个
这一层的相对于转动的这个圆心的它的转动的半径
是R减上y
然后再乘上一个变形的角度呢
是弯曲的转动的角度呢是dθ
那这是变形以后的长度
变形以前的长度呢是因为它的半径它就是R
R乘上一个dθ
那再除上一个原长，就是R乘上dθ
这样我们就得到了相对伸长量就是εx它的一个表达
那同样，刚才说的，它的变化
实际上这个R呢就是一个曲率半径
那这个曲率K呢与曲率半径的关系
那么它是一个倒数的关系
那么我们由高等数学
当这个梁在中性层它有一个挠度函数的时候
那它的曲率的计算公式
那么我们可以表达成这样一个公式
那么由于我们是小变形
把高阶量去掉以后
我们就可以得到一个曲率就是关于挠度的二阶导数
那么我们把这个曲率代到几何方程里面去
也就是说它的倒数，就是曲率半径
我们放进去，就得到了几何方程的这么一个表达
那么物理方程，同样，我们也可以得到
这是一个一维的虎克定理的物理方程
总结一下前面建立的三大类方程
那么我们进行化简归纳以后
我们就可以得到y方向的平衡方程
就是[方程]
那x方向的平衡方程呢就是那个力矩和应力的平衡
我们把关于挠度的函数代进去以后
就是关于挠度的二阶导数
那几何方程同样我们也可以得到[方程]
那么物理方程呢，前面再乘上一个E
注意一下这个里面，这个EI，这个I呢
它实际上是关于梁的截面的惯性矩
关于中性轴，我们既不伸长、又不缩短的
那个中性层的垂直的那个轴的惯性矩
那么可以看出来，这些方程变量也很多
但实际上我们从第一个方程可以看出来
那px这是我们给的外部的条件，给的一个分布载荷
那么实际上它的变量就是v
那么我们可以看出来
从这个方程里面就可以直接独立的针对v进行求解
当v求解以后，就可以求出
同样这个截面的弯矩、应变还有应力
所以这个方程呢应该说是一个解耦的方程
好，下面我们对简支梁给出边界条件
那么看起来，也有位移边界条件，也有力的边界条件
那么位移的边界条件，左边固定
那也就是说x等于零的时候，v就等于零
右边呢也是垂直方向是固定的
所以说它x等于l的时候，v也是等于零
关于力的边界条件，看起来是上面的分布载荷
看起来好像是力的边界
但是注意一下，我们刚才前面建的模啊是进行特征建模
也就是说，中间我们取的微段，是把上下取透的
也就是说把px也取到那个微段里面去了
也就是说这个px已经在那个平衡方程里面已经体现
所以这个时候px就不是边界上的力了
那么我们的边界在简支梁里面就是左端点和右端点是边界
中间都不叫边界
那么对于力的边界，左边，由于承受的外加的弯矩为零
对于右边也是，外加的施加的弯矩为零
所以说它的真正的力的边界条件是M也就是弯矩
在x等于零的时候它也等于零
M弯矩在x等于l的时候它也等于零
那么我们看看前面在建立方程的时候
其中有一个关于弯矩的，也就是x方向平衡方程的时候
有一个弯矩和挠度的这么一个关系
也就是弯矩等于零，完全可以写成这么一个挠度的表达
那这样就是它等于零
就是挠度二阶导数在x等于零的时候要等于零
挠度的二阶导数在x等于l的时候它要等于零
好我们再把简支梁所有的方程和边界条件
我们再简单的归纳一下
那么我们的平衡方程，也叫控制方程
我们解耦以后，我们就是一个
就是关于挠度的四阶导数乘上EI要等于分布力
假定我们要求解的话这个分布力是一个均布载荷
那么这个分布力就是一个常数
那么边界条件是左端点固定，挠度等于零
右端点也是固定，它挠度等于零
左端点的弯矩等于零，那么它的二阶导数为零
右端点的弯矩为零，也是它的二阶导数为零
那么要求这么一个一维的四次方程
它是一个常微分方程，所以说也比较简单
可以看出来它就是一个四次多项式
那么四次多项式呢，我们再加上四个边界条件
这样的话我们就可以把四个待定系数把它确定下来
最后呢，我们得到的这个结果是这样的
它的挠度，简支梁中点的挠度
也就说是在x等于二分之l的时候
它的挠度的计算结果是这样的
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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