当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第5讲 变形体力学方程求解的试函数方法的原理 > 5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础 > Video 5.5
我们对最小势能原理和虚功原理要进行一个证明
证明过程实际上要用到变分的一些基本的知识
我们还是以梁的弯曲问题为例，这么一个简支梁
控制方程，这是关于挠度的四阶导数
同样BC(u)和BC(p)
我们把这个三个方程分别标为
控制方程我们叫1号方程
BC(u)我们叫2号，BC(p)我们叫3号
我们能量原理呢，不管是虚功原理还是最小势能原理
首先要设定满足BC(u)也就是位移边界条件的许可位移场
那么这个试函数满足BC(u)也就是方程2
当然只需要两阶导数就可以了
那么由能量原理的虚功原理，就是δU=δW
最小势能原理就是系统的势能
也就是应变能减外力功，让它取极值
这个能量原理，我们可以看看
也就是说我们在满足边界条件
也就是说表达示2的基础上
通过虚功原理和最小势能原理来进行求解
那么我们就得问
原来的问题的控制方程，也就是方程1和BC(p)
我们的表达示3
这两个条件和我们虚功原理或者最小势能原理是什么关系
因为我们整个原问题应该是说
在满足边界条件也就是说2和3的基础上求控制方程1
我们能量原理有这么一个问号
就是关于1和3与我们虚功原理和最小势能原理有什么关系
我们看看加权残值法
加权残值法首先是试函数要满足BC(u)和BC(p)
也就是说前面所提到的条件2和3都要先满足了
那么加权残值法是处理残值函数
比如Galerkin方法就是让残值函数对基底函数加权后等于零
它相当于是间接针对控制方程1进行处理
也就是说使得对原控制方程误差最小，有一个逼近
那么我们下面要证明一下
最小势能原理，刚才提到的
我们已经满足了BC(u)
也就是说许可位移场满足位移边界条件
那么系统的的势能最小和原控制方程1及原边界条件3
也就是BC(p)，它是一个什么关系
那么我们要证明
使得这个系统最小能不能等价于方程1和方程3
我们这个证明过程实际上就是数学的变分过程
那么我们具体推导一下
设有许可位移场v(x)它满足BC(u)
那么我们最小势能原理就是说
真实的一组，也就是说它真实的解使得以下的泛函
也就是说我们定义的势能取最小
为什么叫泛函呢
实际上泛函就是一个复合函数
也就是说它是关于挠度的函数
当然挠度又是关于坐标x的函数
我们主要是要求关于挠度函数
怎么确定出挠度函数使得这个系统的Π
也就是说我们的势能取最小
具体我们推导一下求极值的过程
这个势能是关于v(x)的函数
我们对它求极值实际上是对泛函求变分的过程
这个变分实际上就是一个复合函数求导的过程
我们把势能表达成挠度的函数
它实际上是关于挠度的二阶导数
由于势能是由应力乘应变
所以它一定有一个平方的关系
对它求v的一阶的增量，也就是说变分
那么就可以得到这么一个表达
那么外力功一样，我们对挠度求变分
我们就得到这样的表达
对右端的第一项我们分别用两次分部积分
那么我们就可以得到这么一个表达
那么这第一项，我们就可以看看
前面这个EI关于v的两阶导数
它实际上是我们的弯矩
所以它是0和l关于弯矩的
要乘上一个相应的变分的端点条件的这么一个值
这个三阶导数乘上EI我们前面已经推导过
它实际上是剪力，我们用Q来表达
后面这一项我们就直接放在这儿
我们把右端项的第一式
刚才两次分部积分的结果呢代到
我们对势能的一阶变分里面去
最后我们就得到这么一个结果
前面四项我们前面已经说了
那么这一项呢就多了一个分布力P这么一项
由于我们是许可位移场
也就是说我们的位移是满足位移边界条件的
位移边界条件在我们这个问题里面
左端点和右端点是固定的
那么它由于是已经满足了
所以说关于位移边界条件它的虚位移
也就是说它的变分或者说它的微小的变化也是等于0
应该说是没有变化
所以这两项就自然为0
这两项为0，我们就得到这两项，写下来
然后这还有一项关于0到l积分的这么一项
那么由变分方法，也就是最小势能原理
对泛函Π要取极值，也就是令δΠ=0
那么我们前面得到的这个式子要等于零
由于挠度的一阶导数，它的变分
这一项不恒为零
那同样，在右端点x=l的时候
它的一阶导数，也就是变分，也不恒为零
所以要使得前面第一项恒为零
那M一定要恒为零
第二项要恒为零，M一定要等于零
同样，这第三项它是关于0到l积分的这么一项
要使得它恒为零
同样δv它也是不恒为零
所以只有里面中间这一项要为零
那么这三项为零我们写出来
前两项实际上就是BC(p)
也就是说左端点x=0，右端点x=l
它的弯矩要为零
那么第三项要为零呢
就是在0到l这个区间域里它要为零
这实际上就是我们的平衡方程也就是控制方程
那进一步，我们对势能泛函做两次变分
实际上就是做广义的复合函数的求两次导数
那么求了以后，我们发现
E大家知道是弹性模量
I是惯性矩，它始终是为正的
再加上这个平方项，平方项的积分也为零
所以这个两次变分，它是大于零的
由此我们所确定的这个试函数
使得泛函Π可以取极小值
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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--Doc I-1
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