当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第10讲 有限元方法中的基本性质 > 10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 > Video 10.2
对于形状函数，我们以杆单元为例
两节点的杆单元
我们形状函数是N1(x),N2(x)
位移场是u(x)
我们想分析一下N1(x),N2(x)究竟有什么性质
我们考虑两种特殊情况
第一种特殊情况
我们为了把N1的性质突出出来
我们假定左端，也就是u1给一个单位位移
右端是固定的，也就是u2=0
这个时候我们看看位移场是什么样的
它就是
那么我们画出这个曲线就是这样的
是一条直线，N1(x)
我们为了考查N2
我们令左端固定，也就是u1=0，令u2=1
这样我们的场函数
我们画出来这个形状函数就是N2(x)这条直线
我们可以得到它的性质1就是
Ni表示在i点的节点位移为1
其它节点位移为0时的位移场函数
我们再考虑另外一种特殊情况
假定这个杆单元发生了刚体位移
我们假定这个刚体位移是u0一横
当然它的位移场u(x)就等于u0一横
它节点位移同样等于刚体位移
这个时候我们带到杆单元的位移场里去
它就有，左边是u0一横，右端是
我们把u0一横去掉
这样就得到
所以我们知道了
单元形状函数矩阵的性质2
它就是要满足所有的形状函数加起来等于1
这个性质主要是为了描述单元的刚体位移
因为这个性质就是由刚体位移得到的
我们再看看单元刚度矩阵系数的性质
这也是两节点杆单元的单元刚度方程
这是k11,k12,k21,k22这么一个情况
我们同样为了考查k11的性质
我们设定一下
我们让u1=1，让u2=0
这样我们由单元刚度方程的第一个方程
我们就可以得到k11=p1
我们来解读一下这种情况
这样的情况就是
单元刚度矩阵的对角线元素
比如我们刚才说的是k11
那么我们对kii作一个一般化的表达
那就是要使得单元的第i个节点产生
单位位移ui=1，而其它节点的位移为0时
需要在节点i所施加的力
刚才我们看见了，k11是等于p1
这就是在kii要等于pi
就是那个地方要施加的力
这就是它的单元刚度系数的性质1
我们再看看，非对角线元素的性质，比如k12
这个时候我们就要令u1=0，让u2=1
这个时候我们看看
由单元刚度方程的第一个方程
这样就可以得到k12=p1
我们看看所得到性质就是
当然我们把它一般化了
就是单元刚度矩阵的非对角线元素kij
当然i不等于j
它表示使得单元的第j个节点产生单元位移uj=1
而其它节点位移为0时，需要在节点i所施加的力
也就是说k12=p1这么一个条件
那么单元刚度矩阵我们可以看看它的表达是
我们把这个单元刚度矩阵再转置一下同样可以得到
所以说单元刚度矩阵它是一个对称的
单元刚度矩阵也是半正定的
我们来看看，单元的应变能
我们前面已经计算过了，它等于
如果我们把单元的节点位移
也就是u1,u2,u3一直到un
我们分别代进去
分别写出这个应变能的具体的一些系数，那就等于
总的来说它是1/2乘上一个二次项
我们可以看看，对于qe为非刚体位移时
除非qe=0，应变能总是正的
如果它要为0，只有节点位移为0，它才为0
那么如果是对于qe为刚体位移的时候
也就是说这个qe不为0的情况下
这个时候，如果要应变能为0
只有使得刚度矩阵Ke它的行列式一定要为0
因此我们就说刚度矩阵是一个半正定的
我们再考查一个附加刚体的情况
同样还是对于这个一维的杆单元
假定这个单元的1、2号节点有一个位移
我们分别表达成c1,c2
它是位移1，这是第一种情况的
它要满足单元刚度方程的这么一个表达
也就是说刚度矩阵乘上节点位移要等于节点力
这是第一种情况
假定第二种情况
我们在前一个节点位移的基础上有一个刚体位移
我们叫u0
既然叫刚体位移
那就1号节点和2号节点上都有相同的刚体位移
我们把这个时候的位移叫c1,c2
它是第二种情况下的位移
同样由于刚体位移不影响它的受力状态
所以它的单元刚度方程还是一样
就是说力p1,p2还是一样
只是它的位移，里面加了刚体位移的u0而已
我们把这两个方程相减就可以得到这么一个表达
这个时候的载荷就为0了
我们看看这个方程里面的这一项，也就是位移项
它是非0的，刚才相减过后肯定是等于一个u0
它是非0的
这个方程又是一个齐次方程
要使得齐次方程成立
只有这个非零解的条件，就是它的行列式要等于0
就是系数的行列式等于0
由此我们可以得到单元刚度矩阵它是奇异的
也就是说它的系数的行列式是等于0的
同样，还由前面这个例子，我们来看看
我们把刚才的这个单元方程写成两项
我们把刚体位移也放进去
第一项、第二项
那么我们把刚体位移给它去掉
那么我们就得到这么一个方程组
这表示什么意思呢
就表示单元刚度方程的各个系数在
每一行每一列，它加起来要等于0
也就是说它表明是一个平衡的力系
为什么它等于0就是平衡力系呢
这是因为我们的刚度方程的物理含义
在前面我们给大家证明了
单元刚度方程是由最小势能原理得到的
最小势能原理在我们力学里的物理含义
它就是对应着平衡关系
所以它等于0就表明是平衡的
有了单元刚度矩阵的性质以后
我们集成以后的总体刚度矩阵的性质
同样，它是对称的
同样是奇异的、半正定的
当然它还多了一个稀疏矩阵
因为装配以后它是一个带状的
那么非零元素呈现一个带状的特征
当然，上面所介绍的这些矩阵的特征
对于常规的C0问题应该没问题
对于梁单元，也就是C1型单元
可能稍微有一些不同
关于C1型单元和C0型单元，我们后面还要给大家讲解
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
--Doc I-5
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--Doc I-6
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--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
