当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第3讲 针对复杂几何形状变形体的力学描述(1) > 3.2 指标记法 > Video 3.2
由于我们要针对复杂的几何形状的变形体来进行研究
主要是针对三维问题
我们还有一些很多的力学的表征
都是要用一些分量来表达
比如，我们假定有一个力的向量
我们都知道在三维空间里有三个分量
F1、F2、F3
那么它是一个力矢量
它是在三维坐标系里面分解后的三个分量
我们常规的表达呢就是用分量形式
分别把它的分量写出来
还有一种呢我们就是用下标来写
这样比较简单
比如用Fi
这个i呢，我们可以用变化1、2、3来表达
当然这个地方的1、2、3应该说我们有些特指
特指什么呢？
特指x1、x2、x3的这个三维空间的三个坐标轴
也就是说这个i呢
分别变化对着三个坐标轴的分量
由于我们在指标记号里面
我们一般来说都是针对坐标轴来写分量
所以说我们完全可以把这个下标变化的量
进行一个默认
只要是写了这个指标的变化
它默认自然地就要变坐标轴的分量
这样就使得我们这个表达更简单
这样我们用指标来表达向量
用分量来写就是Fi就可以了
不用再写下标的变化i等于1、2、3
好了基于这么一个下标变化的默认
我们有几个约定
或者我们有几个指标记法的基本概念
第一个叫自由指标
就是说每一项变量
如果下标里面只出现一次
我们就认为它是自由指标
那么自由指标就意味着
它自然地会沿着坐标轴进行变化
如果针对二维问题
那么自由指标就变化1和2
就分别对着x1、x2的坐标轴
如果是三维空间里面
那自由指标它就要变化1、2、3
分别对x1轴、x2轴、x3轴
也就是说三个直角坐标的三个轴
那对于哑指标，我们也有一个约定
假定在一个表达式里面
在一项有指标重复
我们就把它定义为哑指标
这个哑指标呢我们后面还有一个约定
约定叫做求和约定
也叫作爱因斯坦求和约定
我们举一个例
假定有一个针对三个坐标轴的线性方程组
那么它的系数呢是a（ij）
也就是a11、a12分别变化
它的自变量是x1、x2、x3
那这三个自变量呢表示三个坐标轴的某个分量
那么我们要求解这个方程组
我们要把这个方程组呢用指标形式来写
当然我们先用一个求和的方式来写
那么我们常规的求和方式写就是∑a（ij）x（j）
那么其中j呢，变化1到3
∑表示是求和
那么这个i呢分别等于1、2、3
那大家可以看出来i和j分别变化以后
就可以等价为上面这个方程组的表达
按照我们的指标记法
就是自由指标、哑指标
以及哑指标的爱因斯坦的求和约定
我们可以很简单的写出下面这个表达式
也就是说自由指标分别变1、2、3这个是默认的
不用写了
求和的这个呢
因为是有重复的指标也叫哑指标
它是默认的爱因斯坦求和约定
也可以不写了
所以把这两项不写以后，都是默认的
就可以非常简单地写出这么一个表达式
刚开始看这个表达式可能还不是太习惯
那么看时间长了之后你就非常习惯
它就等价于上面这个求和的方程组的表达
那么针对指标呢我们还有一个叫Voigt的标记
作为呢就是把高阶的自由指标的张量写成低阶的
也就是降维，把高阶变成低阶
那么这个变的规则，我们叫Voigt移动的规则
比如二阶张量应力σ（ij）
它有两个下标，也就是有两个自由指标
那么如果二维的情况写出来
它就是有四个分量，σ11，σ12，σ21，σ22
那么我们用Voigt标记
就可以把这个二阶的张量
也就是说是一个矩阵
写成一个一维的列阵
这样的话就可以简化问题
由于应力张量是对称的
所以我们可以写一半
那么按照Voigt标记呢先写对角线的元素
然后呢按照逆时针这么转上去
把它写下来
那么我们写一半
就是先写σ11，σ22
然后再写σ12
那么我们就可以写出这三个量
把这三个量排成一列
相当于是一个一维的列阵
这样就对应着σxx，σyy，或者σxy
有时候我们也写成τxy
那这样就是我们二阶的张量就写成一个一维的列阵
这就是Voigt记号的一个用处
对于三维问题，同样
二阶应力张量它i和j是自由指标
分别变1、2、3，也就是对应着三个坐标轴
那么我们可以分别写出σ11、σ12、σ13
全部写完，写到σ33
那么它是一个对称张量，我们就写一半
按照Voigt的规则
我们先写对角线σ11、σ22、σ33
按照逆时针的次序往上写
那就是写σ23、σ13、σ12
那这样我们Voigt写出来的这个次序
再把它表达成一个列阵
那这个时候的这个下标p，就是变1、2、3、4、5、6
因为我们写了一半，只有6个
那分别对应着元素呢就是σ11、σ22、σ33
σ23、σ13、σ12
这是对应着分量
这6个分量就写成一列的列阵
有时候我们为了习惯
我们先把三个所谓的主应力
就是前面的对角线先写
后面这个呢我们习惯写σ12
或者是τxy，或者是τyz，或者是τzx
这个次序好像和这个不一样
没关系
这个Voigt规则呢它只是一个规则
就是把二维变一维的一个规则
那么如果是按照这个规则的次序写完全一样
只要满足前后一致的准则
就都按照这个位置来写
它情况是一样的
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
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--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
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--Doc I-8
