当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第8讲 连续体结构的有限元分析(1) > 8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程 > Video 8.2
平面4节点矩形单元
首先进行节点的描述
我们看一下这个单元
我们把这个矩形单元规范化
它的长度2a，宽度是2b
我们把坐标建到这个单元的中间
这样我们也可以用一个无量纲的参数
这样我们这4个节点的几何节点的坐标
就可以直接给出数来
比如1号节点就是ξ1=1，η1=1
这是无量纲的表达
2号节点分别是-1，1
3号节点是-1，-1
4号节点是1，-1
对于节点位移来说
每一个节点有两个位移分量
也就是u和v
所以说4个节点
分别有2X4，就是8个自由度
那么它就组成一个8X1的节点位移列阵
那对应着这些节点位移，同样我们也有节点力的列阵
单元上的场的描述
同样也是三大类变量的场描述
我们的目标是把所有三大类变量都要表达成
基于节点位移q的描述
对于位移场，首先一样
我们把节点位移分成两类
一个是x方向，一个y方向
我们4个节点，所以分别有4个待定系数
一共是8个待定系数
那么同样从低阶到高阶，唯一性确定原则
这8个待定系数分别由4个节点的8个节点条件
就是x方向、y方向分别等于对应的节点位移
可以分别求出这8个待定系数
把这8个待定系数表达成
节点位移u1,v1一直到u4,v4的表达
重写位移场的函数
我们可以把x方向的位移场函数写为
y方向的位移同样也是
上面我们是完全按照节点条件来确定的
其实对于矩形的单元，4个节点
由于它比较规整
所以我们完全可以用插值条件直接写出形状函数
比如对于N1(x,y)
我们看一下，N1(x,y)实际上就是
在N1(x,y)这一点的位置
也就是说在x=a,y=b这个位置
或者说无量纲的参数ξ=1，η=1这个位置
其它的量都为0
只有u1前面这个N1(x,y)要等于1
那么同样对于N2，N3，N4也是这样的
由插值条件我们可以直接写出矩形单元的形状函数矩阵
它的每一个函数
比如N1(x,y)这个函数就等于
对于N2(x,y)，也就是说
针对节点2的形状函数，它等于
我们可以验证一下
这4个形状函数它刚好符合我们节点的插值条件
也就是说x,y坐标在这个节点的位置
它正好等于这个节点的值
而在其它的位置，这个N函数都等于0
我们把位移场的x方向和y方向写成一个矩阵形式
这样我们分别把N1，N2，N3，N4写在前面
把节点位移写在后面
这样就是一个N矩阵2X8的
乘上一个节点位移的列矩阵
或者是叫列向量，8X1的
由几何方程我们可以得到应变场的描述
那几何方程和刚才3节点的三角形单元一样
由于是二维问题
我们也把几何方程写成一个算子矩阵
作用在位移场的这么一个形式
我们再把位移场等于N矩阵乘上一个节点位移
把它代进去
这个算子矩阵就作用在N矩阵上面
所以说就得到一个B矩阵乘上一个节点位移
对于应力场函数我们由物理方程
我们在应变场函数前面乘上一个弹性系数矩阵D
这样就可以得到一个应力函数矩阵S
S就等于D乘上B
由最小势能原理
我们要计算矩形单元的应变能还有外力功
应变能的计算就是
我们也表达成矩阵的形式
外力功也是一样，体积力乘上相应的位移
面积力乘上相应的位移，再积分
我们把三大类变量都表达成基于节点位移的描述
这样我们代入以后
所有的都可以表达成基于节点位移q的表达
这样我们就得到
这个K矩阵就是单元的刚度矩阵
它等于B矩阵的转置乘上D
再乘上B矩阵，对这个单元的几何域进行积分
它是一个8X8的矩阵
对于平面问题
几何域的积分就变成一个面积域再乘上厚度
同样，节点的等效载荷如果是有分布的体积力
还有分布的表面力
同样可以前面乘上一个形状函数矩阵的转置
这样也可以得到一个等效的载荷
由最小势能原理对所构建的应变能减外力功
这么一个势能取极小值
也就是说对qe取一个一阶导数，让它为0
这样我们就可以得到单元的刚度方程，它是
对于所得到的矩形单元的刚度阵，它是8X8的
那么我们具体来计算它的一些系数
那么我们得到的分块的这个kij的系数
这个krs是一个2X2的
它的每一个系数k1,k2,k3,k4分别由
我们4个节点的几何坐标的位置来确定
基于前面平面4节点矩形单元的刚度阵
我们分别计算它的积分
这样就可以得到这个单元刚度阵的8X8的显式表达
这个显式表达具体它是与弹性模量有关
与单元的厚度有关
与我们这个单元的半长a，以及半宽b有关
为什么可以写出显式表达
是因为我们这是矩形单元
它是一个非常规范的单元
每一个几何参数它都是确定的
是由a和b来确定的
所以它就可以表达成a和b这么一个关系
讨论一下平面4节点矩形单元的性质
首先位移场
我们看一下这个位移场4个待定系数确定的函数
它有常数项、一次项，还有一个交叉项
就是xy的交叉项
所以说它的性质是完全的线性项
加上一项交叉项函数
对于应变场，我们把前面的这个位移场函数
代入应变里面，分别进行计算
我们可以得到
我们可以看到，εxx它关于y是一个线性的
关于x不变化
εyy是关于x线性变化
关于y是不变化的
γxy是关于x,y有一个线性变化
这说明我们的应变场为不完全的线性函数
应力场函数实际上和应变场函数类似
它只是前面要乘上一个弹性系数矩阵
简单归纳一下这个单元的性质
第一是位移场完全线性加上交叉项函数
在x,y方向呈线性变化
所以它称为双线性位移模式
应变场和应力场为不完全的线性函数
平面4节点的矩形单元比
3节点的三角形单元的精度要高
矩形单元的几何形状
由于它是一个非常规范和标准的矩形单元
在实际应用中间还应该变换为任意的四边形
这样才具有更好的几何适应的描述
下面给出4节点矩形单元的MATLAB编程
同样，有3个函数分别来计算
刚度矩阵、单元组装，还有应力
对于Stiffness这个函数，它是计算单元的刚度矩阵
需要输入弹性模量、泊松比，还有厚度
需要输入4个节点的坐标
需要输入平面问题性质的指标参数
比如1是平面应力，2是平面应变
它输出单元刚度矩阵k是8X8的
对于Assembly这个函数
它是进行单元刚度矩阵的组装
需要输入单元刚度矩阵k
以及单元的节点编号i,j,m,p
它输出整体刚度矩阵KK
Stress函数它是计算单元的应力
需要输入弹性模量、泊松比、厚度
输入4个节点的坐标
需要输入平面问题性质的指标参数
比如平面应力还是平面应变
还需要输入单元的位移的列阵
它输出的是单元的应力Stress
它是一个3X1的列阵
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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