当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第4讲 针对复杂几何形状变形体的力学描述(2) > 4.4 空间弹性问题的完整描述 > Video 4.4
下面针对三维问题也就是空间问题
给出完整的弹性力学的描述
前面提到了我们在处理复杂几何形状
核心问题有两个
一个呢就是要进行内部的描述
一个呢要进行外部的描述，也就是边界条件
同样呢我们对三维问题，从内部取出一个微元体
分别它的长宽高就dxdydz进行受力分析
那同样对表面也可以取出一个微元体
进行一个边界条件的表述
这样也可以得到基本的力学变量
三大类的力学方程，以及边界条件
同样也可以给出分量形式、指标形式
这就是我们常规的基于微元体的建模方法
那么还有一个呢前面我们已经推导了
2D问题的基本变量和基本方程
我们完全可以把2D问题拓展到3D问题
这样也比较简单
那么我们看一看，来比较一下1D问题、2D问题和3D问题
这样的话我们就可以进行一个拓展
那么一维问题，关于位移分量，它就是u(x)一个
关于应变分量，也就是ε(x)，应力分量是σ(x)
2D问题呢是两个方向的位移u和v
应变呢有εxx，εyy，γxy
还有一个剪应力互等的γyx
那应力也是这样的，σxx，σyy，τxy
那么我们把2D问题拓展到三维问题
首先，位移分量增加一个w
当然它的自变函数是x,y,z
应变分量我们首先一个正应变要拓展到zz
我们有εzz
那同样关于z方向
还有yz和xz的剪切角，夹角的变化
所以我们就可以拓展这三个
另外在应力，也是一样的
那我们在z方向拓展一个正应力，我们叫σzz
那同样在z方向
我们分别拓展两个剪应力τyz，τxz
这样的话就是有6个应力分量
那实际上从来指标来说的话
位移分量，3D问题有3个
应力分量有9个，因为它有2个下标么，33得9
应变分量也是9个
但是由于有3组剪应力互等
还有3组剪应变的互等
所以说独立的三大类变量就变成
位移分量是3个，应力分量是6个，应变分量是6个
那关于平衡方程，我们看看
1D问题就是x方向受拉，那么它的平衡方程非常简单
就是一阶导数为0
在2D问题，那么同样
我们已经构建了两个方向的梯度变化的平衡
那么同样我们把2D问题拓展到三维问题
那么在x方向，在合力平衡的这个地方
就会增加一个由于τxz
在z方向的梯度变化引起的增量产生的平衡
同样在y方向呢也一样
由于z方向τyz在z方向引起的梯度变化
那么这一项要加进来
在z方向还有一个正应力的平衡
一样，那么关于σzz偏z，这是它的正应力
同样，x和y方向的剪应力在这个方向也有一个平衡
在几何方程方面
一维问题就是关于位移的一阶导数εxx
那么二维问题也是u关于x方向的一阶导数
v关于y方向的一阶导数
另外还有就是交叉的偏导得到的一个剪切
那3D问题同样在z方向作一个拓展
它是关于z方向的位移w关于z的偏导数
这是z方向的正应变
那同样呢，在z方向的剪应变有两个
叫γyz，还有γxz
同样也有相应的夹角变化的
这么一个交叉的偏导这么一个表达
在物理方程方面，一样，1D问题物理方程非常简单
就是这么一个
2D问题呢就是考虑广义虎克定理里面的泊松效应
这样的话就是二维问题里面有泊松效应的影响
在三维问题里面，一样，那么在εx方面
同样由于z方向对它也有泊松效应
所以增加一项z方向的泊松效应
那么在z的εzz方面，也就是正应变方面
那同样也可以得到一项和前面对应的关系
剪切也是，在z方向的剪切也有这么一个对应的剪切关系
在边界条件方面，几何边界条件
1D问题就是我们在指定的位置我们要等于给定的位移
在1D问题的应力边界上也是这样的
我们可以也是它的内力在边界上要和外力的分布要平衡
那么2D问题的几何边界条件也是一样
2D问题的外力边界条件也一样
那么我们看看三维问题
三维问题很容易拓展
我们只要给定一个z方向的位移
等于一个z方向的位移的指定值
这是一个BC(u)的表达
在3D的外力边界条件，也一样
既要考虑剪切对x方向和y方向的影响
还有在z方向的同样在z方向的一个平衡
也就是得到3个平衡的关系
那么在上面的边界条件里面我们可以看出来
这个x0、y0、z0都是边界的几何坐标
那么这几个n呢，都是边界的外法线的方向余弦
还有u、v、w给一杠
这个就是给定的方向上的位移值
那么Px、Py、Pz上面带一杠呢
也是给定的对应方向上的分布力
那么物理方程我们经常要用它的逆形式
所以我们再把物理方程写出它的一个逆形式
这个经常我们也要使用的
那么我们再用指标形式写出3D问题
实际上在2D问题写的时候
当时基本是i和j分别变x和y
也就是变平面问题的x轴和y轴
那只要在3D问题里面
把i和j的变化分别对着1、2、3
分别对着x轴、y轴、z轴就可以了
实际上它的写法和2D问题的写法完全一样
只是下标分别变1、2、3
那么我们下面看一下三大类变量的
指标形式和分量形式的对应关系
那么对于位移来说，指标形式是ui
它的3个量是u1、u2、u3
对应着的分量就是u、v、w
对于应力来说，指标形式σij
那么这个ij分别要变1、2、3
我们用Voigt规则来写，先写对角的
就是σ11、σ22、σ33
然后再写3个剪切，因为它是对称的
所以另外3个就不用写了
σ12、σ23、σ31
它对应着的分量形式就是
σxx，σyy，σzz，τxy，τyz，τzx
那3个正应力由于它的下标相同
我们往往为了简单，就把它写成一个
所以σxx就写成σx，σyy就写成σy
σzz就写成σz
那应变也是这样的
应变呢εij，那用指标写出来
ij分别变1、2、3应该是9个
那同样我们用Voigt写出它的对称部分
也就是写成它的3个，分别写出来就是这样的
对应的分量形式，我们看一看
3个正应变完全一样εxx，εyy，εzz
3个剪应变
我们用的是γxy来进行表达，γyz和γzx
那它和ε12之间有一个二分之一的变化关系
那同样呢对于正应变为了简单
我们把两个相同的下标就写成一个
比如写成εx，εy，εz
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
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--Doc I-8
