当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第7讲 杆、梁结构的有限元分析 > 7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程 > Video 7.2
对于平面纯弯梁
我们首先研究在局部坐标系下它的单元构建
首先是节点描述
节点描述包含几何坐标的描述
对于我们这个局部坐标系的平面纯弯梁
两个节点，节点1、节点2
那么节点1的坐标就是x1=0
对于节点2，它的坐标就是x2=l
节点位移的描述
对于平面纯弯梁来说
节点1它有一个挠度叫v1
另外还有一个转角叫θ1
对于节点2来说，它的挠度是v2
转角是θ2
所以我们把这四个节点的位移
包括挠度和转角把它列成一个列阵叫qe
就是v1,θ1,v2,θ2
它有四个自由度
那同样，我们也把节点上的节点力
把它列成一个节点力的列阵
就得到了一个Pe
这个Pe分别对应着Pv1,M1,Pv2,M2
M1和M2是节点1和节点2上的弯矩
Pv1和Pv2是它的节点力，都是沿着y方向
在单元上我们要进行场的描述
这个场也是三大类变量场
首先是位移场
平面纯弯梁的位移场就是挠度
这个挠度我们取多项式
按照位移模式的两个原则
从低阶到高阶、唯一确定性
那么我们有四个自由度
也就是说有四个节点位移的分量
这样我们就可以确定四个待定系数
所以我们取
这四个待定系数
由节点条件，在1号节点x=0的时候它要等于v1
它的转角要等于θ1
在2号节点，就是x=l的时候
它要等于v2
它的一阶导数要等于转角θ2
那么我们代到位移模式里面去
就可以把a0到a3这四个常数求出来
求出来以后再代回到位移场函数里去
重新表达成v1,θ1,v2,θ2的这么一个关系
我们采用一个无量纲的表达ξ
ξ=x/l
这样我们再写成矩阵形式
这个q就是我们的节点位移的列阵
前面就是形状函数矩阵，它有四项
由几何方程对挠度进行求两阶导数
这样我们可以获得它的应变
那么这是由几何方程获得的
那么我们把这个函数代进去
最后我们可以写出这么一个表达
注意一下这个y上面一个三角
这是相对于中性层为起点的y方向的坐标
那么这个B矩阵乘上一个qe
这个B矩阵我们也叫几何矩阵
那么我们分别把这四项写成
B1,B2,B3,B4这四个函数
当然前面还要乘上一个以中性层为起点的y方向的坐标
前面还有一个负号
有了应变的描述
那么我们由物理方程可以得到应力
对于平面纯弯梁来说
它实际上就是一个一维的虎克定理
就是乘上一个弹性模量
那么同样，我们把应力表达成节点位移前面乘上一个矩阵
前面这个矩阵就叫应力矩阵
在单元三大类变量的描述基础上
我们要计算单元的应变能
那对于平面纯弯梁，这个应变能就两项
就是应力乘应变
我们把前面的这个应力和应变的表达
基于节点位移的表达分别代进去
就得到这么一个关系
这个关系最后可以表达成
1/2乘上节点位移的转置
再乘上一个K矩阵
再乘上一个节点位移的列阵
这个K它等于
那么我们把B矩阵里面的B1,B2,B3,B4这些函数
分别代进去，一个是转置，一个不转置
分别相乘，就得到这个K矩阵实际上是一个4X4的
里面是这些函数的组合
分别进行积分
在横截面的这个积分就是我们的惯性矩
当然这个惯性矩实际上是
针对xy坐标系里面相垂直的轴，也就是z轴的
所以我们叫Iz
那么这项是针对dx的积分
我们分别计算出来，得到的这些系数就列在这里
也是一个4X4的矩阵
单元的外力功
我们两个节点
每个节点上的力有y方向的集中力，还有一个弯矩
所以我们把集中力乘上对应的节点位移
弯矩乘上对应的转角
我们把它写成一个矩阵形式
它就是P转置乘上一个qe
这个P矩阵就是节点的节点力
也就是说它是1号节点y方向的节点力以及弯矩
2号节点y方向的节点力以及弯矩
由最小势能原理对这个单元的势能
单元的势能是应变能减外力功
我们取极小值
这个极小值是针对我们的单元节点位移q来进行的
所以说对q取一阶导数，让它等于0
我们就得到单元的刚度方程，就是
这就是平面梁单元的刚度方程
这个K矩阵是一个4X4的
q是节点位移，是4X1的
P是节点力，也是4X1的
那单元的刚度矩阵是4X4的
具体的每一个元素列在这里
节点位移、节点力
我们基于MATLAB来实现梁单元的有限元分析
同样也需要五个MATLAB函数
它们分别是计算刚度矩阵的Stiffness函数
Assembly它是计算单元的组装
Strain是计算单元的应变
Stress是计算单元的应力
另外还有计算单元的挠度Deflection
对于Stiffness这个函数
它需要输入弹性模量、横截面的惯性矩
以及梁单元的长度
它输出界单元的刚度矩阵，4X4的
对于Assembly函数
它需要输入单元刚度矩阵K、单元的节点编号i,j
它输出整体刚度矩阵KK
对于函数Strain
它是计算梁单元里面的B矩阵
它需要输入梁单元x坐标
也就是说你需要计算哪一个位置的那个坐标
还需要输入以中性层为起点的y方向的坐标
还有梁单元的长度
它输出单元几何形状函数矩阵的那个B矩阵
它是1X4的
对于函数Stress
它是计算单元某一点的应力
它需要输入弹性模量、几何矩阵B
节点位移列阵u
输出的是单元的应力Stress
对于Deflection这个函数
它是计算单元内某一点的挠度
需要输入观测点距单元左节点的水平距离x
还需要输入梁单元的长度，节点位移列阵
它输出的是该点的挠度v
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
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-【应用建模Project6】热应力分析：桁架结构的温度及装配应力分析
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-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
