当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第6讲 基于试函数方法的经典实现及有限元实现 > 6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法 > Video 6.1
同学们好
首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们学习了
变形体力学方程求解的试函数方法
平面纯弯梁求解的试函数方法
也就是残值处理法
平面纯弯梁求解的能量原理及变分基础
以及一般弹性问题的能量原理
本讲我们将学习
基于试函数的经典方法和有限元方法
有限元方法中的自然离散和逼近离散
有限元方法的基本步骤
最后我们要进行试函数经典方法和有限元方法的比较
基于试函数求解变形体的力学问题
前面提到了，我们就是用能量原理来进行分析
具有很多很好的特点
能量原理里面主要就是最小势能原理和虚功原理
最小势能原理实际上主要就是找许可位移场
真实的解使得势能泛函取极值
虚功原理同样也是基于许可位移场
真实的解，使得虚应变能等于虚外力功
同样来找这个许可位移场
那么这两个原理实际上是等价的，本质是一样的
特点呢也是，首先要找全域的试函数
也就是说满足位移边界条件BC(u)的全域试函数
这是第一
第二个特点就是对试函数的导数的要求比较低
比加权残值法的要低一半
关键是全域试函数
满足BC(u)的试函数对于1D问题相对来说好一些
对于2D问题、3D问题特别是复杂的几何形状
那不光是Ω复杂、几何形状复杂
而且它的边界条件也复杂
那么在满足复杂几何域上的试函数
这是一个难点
也就是说这个Ω上面要取ui要满足BC(u)的条件
往往是比较复杂的
那么我们比较一下，就是选取全域试函数这个经典方法
以及有限元方法，这中间究竟有多大区别
我们比较一下
我们看看1D问题
基于全域来进行构造
我们前面在第1讲的时候就给大家举了个例
就是全域函数的逼近
我们基于傅里叶级数作为基底函数来进行逼近
比如这么一个一维的函数
同样我们取sinπx,sin2πx等等
我们取从低阶到高阶的基底，进行线性组合
那么我们可以对原来的复杂函数作一个很好的逼近
1D问题没有什么问题
同样我们在第1讲也提到了
我们采用分段的方法对全域进行离散
分成一个一个的小区间
每一个小区间我们可以用线性函数来进行逼近
那么把它拼成一个函数来逼近原来的函数
这两个进行比较，我们看看
经典的方法，它的基底函数应该说构造是比较复杂的
它的逼近效果也是不错的
总体适应性有一些问题，但连续性很好
可以看出来
那基于分段的这个拼接函数的逼近呢
基底函数很简单，当然也比较标准和规范
因为它们都是线性函数，然后一段段拼出来的
那逼近的效果是总体适应性很好
整个形状对于原始函数的逼近不错
但函数的连续性
就是说段与段连接的地方的连续性稍微差一些
这是1D问题
对于2D问题，我们经典的方法
就是基于全域来进行构造的方法，我们来看看
2D问题如果是规则形状
用全域函数来进行逼近
比如这是一个矩形，假定我们有sinπx,sinπy
也就是两个方向，x和y方向
分别也用傅里叶级数的方法来组合出基底函数
可以看出来这个基底函数是比较复杂的
那么对于复杂的形状
这个时候要构造全域的试函数往往就很难了
甚至是几乎不能构造的
所以说经典的方法来构造全域试函数往往是
规则形状可以构造，复杂形状是不能构造的
那么我们看看分段分片的方法
我们在二维里面叫分片
那么我们对于规则形状
我们把它分成片，一片一片的
比如我们这里就分成四个节点的片
像小的矩形一样
那么我们在小的矩形里
可以构造常数项、一次项，还有一个交叉项
这么一个函数，来作为基底函数
然后我们来拼出一个全场函数
那么这个基底函数我们看看
它比较简单，同时也规范，也是比较标准的
那对于复杂几何形状一样
我们同样也可以把它分成比如三角形的片
当然也可以分成矩形的片
我们分成这种标准的几种形状的片
我们来拼出全域
那同样我们可以在每一片里面构造出它的函数的逼近
那么我们看看整体效果
对于复杂形状，我们用分片的方法来做
它可以做复杂形状，没有问题
总体的适应性是不错的
但片和片之间连接的地方
它的连续性还是比较差一些
这是2D的情况
3D情况
那么经典的方法，对于规则形状
那么我们构造全域函数
同样，我们在每个方向比如都用解析函数
那么我们在x,y,z三个方向分别构造基底函数
进行相乘的组合
那么规则形状我们可以做
但是这样的基底函数也是比较复杂的
对于不规则的复杂形状
往往是不能够构造出
相应的满足几何边界条件的试函数
所以我们简单说一下就是
规则形状可以构造，复杂形状基本上是不能构造的
采用分块的方式
那么我们简单形状同样通过常数项、一次项来组合
这样的话来构造每一个块里面的
因为它是标准的块
每一个块里面的函数
同样对于不规则的复杂形状
每一块可以是六面体，也可以是四面体
在这个标准的块里面
同样也用这种拼接的函数来进行构造
每一块里面都构造好，然后把它们拼接起来
那可以看出来，我们不管是对规则形状还是复杂形状
我们都可以做
那么基底函数是比较简单也比较规范
同时也是标准的
当然从逼近的效果来看
总体的适应性还是不错的
但是块和块之间函数的衔接的地方连续性相对较差
那么通过上面的比较我们就可以看
经典的试函数方法和有限元的试函数方法
我们的原理都是用能量原理，这一点完全一样
但是在构造试函数这一块还是有相当大的不同
最大的不同就是
一个是全域的试函数
还有一个是分段、分片、分块试函数的构造
所以说有限元最主要的思想就是离散
就是基于分块拼接函数的逼近
那么我们看看1D，比如梁、杆
2D，比如一个域
3D，同样也是这样的
那么我们来做几何离散
也就是说把Ω
不管它是简单的还是复杂的
我们都把它分成Ωe
这个Ωe就是我们标准的段或者片或者块
然后把每一片、每一段、每一块把它拼出来
然后对每一个单元，也就是对Ωe，我们叫单元
这些单元应该说有一些特征
至少在几何上是比较规范和标准的
比如对一维的，就是两节点的杆
比如对二维的，我们有三节点的平面的三角形单元
对于三维问题，我们有八节点的六面体的块体单元
我们作了一些标准的几何划分
这些标准的划分就叫单元
我们在单元上构建试函数并建立相应的力学方程
当然建立这些方程是根据前面所提到的能量原理
也就是说最小势能原理或者虚功原理来构建相应的方程
那么这就是单元的研究
单元研究清楚后再把每一个单元拼接起来
又拼成一个整体
也就是说把Ωe所有的
从1到n把它加起来形成一个大的Ω
这个Ω就是我们原来问题的对象
那这个从Ω分解成Ωe
又从Ωe把它加起来形成一个总的Ω
你看，从整体到离散
又从离散要集成到整体
这是一个标准化的过程
那么这个过程中间
我们在局部的单元研究已经给出数学描述的基础上
再把它集成起来
这个时候的整体是已经得到数学描述的整体
这样我们求解以后就能得到问题的最后的结果
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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