当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第2讲 基于直接刚度法的杆系有限元方法 > 2.3 杆单元的坐标变换 > Video 2.3
杆单元的描述我们已经有了
它是刚度阵乘上一个节点位移等于节点力
相应的节点位移的描述、节点力的描述
还有刚度阵的描述我们都有了
大家要注意一下
我们这个杆单元是基于局部坐标的描述
也就是说我们这个坐标系
是取的这个杆单元的轴线
这对于平面杆单元或者是对于
一个水平的复杂结构应该是没问题
那么还有大量的工程结构
比如像这个桁架结构里面
有一些斜着的杆
这个斜着的杆我们也可以看作局部坐标x
斜着的沿着杆的轴线的坐标
现在有一个问题
沿着斜着这个方向的位移
和其它杆件的位移怎么进行组合
这是一个问题
所以说我们要进行一个绝对坐标系
或者叫整体坐标系下的一个坐标的变换
也就需要把我们局部坐标系下的位移
分解成整体坐标系上
我们把所有的杆单元都按照整体坐标来进行分解
来进行描述
这样的话，我们才有一个组装的基础
我们现在假定局部坐标系是x
那么整体坐标系是x一横和y一横
局部坐标系和整体坐标系之间相差α角度
局部坐标的位移叫u1,u2
那整体坐标系下叫u1一横,v1一横
就分解成两个方向了
同样2号节点也是分解成两个方向
那么这两个坐标系
一个是局部坐标系ox
还有一个整体坐标系
这两个坐标系我们假定它的夹角是α
我们把局部坐标系的节点位移写成
把整体坐标系的节点位移写成
我们可以看出来局部坐标系是两个节点位移u1,u2
整体坐标系每一个点上有两个分量
那么我们把每一个节点上的整体坐标系上的位移
向局部坐标系ox进行投影
我们就可以分别写出来
局部坐标系的合成以后的位移的量
这样我们就得到两个坐标系之间的
节点位移的转换关系
我们把两个坐标系之间的节点位移的转换关系
再进一步写成矩阵的形式
并且把节点的位移用我们前面所定义的qe来表达
这边是整体坐标系下节点位移的分量
我们把前面这个矩阵叫作坐标变换矩阵
整个的坐标变换就用这么一个
矩阵变换的方程来描述
我们有了节点位移的坐标变换
我们把它代入原来局部坐标系的平衡方程
也叫刚度方程，代进去
再在前面乘上一个单元转换阵的转置
我们把前面这一项写成
这一项继续保留
把这两个合到一块写成
这样我们就得到整体坐标系下的
平面杆单元的刚度方程或者平衡关系
大家看一下，这上面都带一横
表明它是在整体坐标系下的描述
其中里面的K矩阵
它是原来局部坐标系下的
前乘一个转置的坐标变换阵
后乘一个坐标变换阵
同样，整体坐标系下的节点力也等于
原来局部坐标系下的节点力
前乘一个坐标变换阵的转置
我们把刚度阵的计算分别做出来
就得到这么一个基于α的整体刚度矩阵
它是一个4×4的矩阵
对于空间杆单元其实也是类似的
假定我们局部坐标系还是ox
三维的空间杆单元的整体坐标系为
同样局部坐标系的节点位移还是u1,u2
那么整体坐标系下每一个节点位移有三个分量
所以说它是有六个分量
假定我们两个坐标系之间的方向余弦
我们可以用两个节点的坐标来进行计算
也就是cos这三个方向余弦
分别把它写出来
整体坐标系的分量向
局部坐标系的节点位移进行投影
同样，跟刚才二维情况类似
可以写出这样一个转换关系
那么它的转换阵就是这样一个
基于方向余弦的表达
它是一个2×6的矩阵
同样，我们得到整体坐标系三维情况下的
刚度方程是这样的
它的规模是6×6的
这是6×1的
这也是6×1的
它的整体刚度阵的计算和刚才类似
也就是说在局部坐标系下的刚度阵上
前乘一个空间坐标系下的转换阵的转置
后乘一个转换阵
整体坐标系下的节点力也是一样
在局部坐标系下的节点力前面
前乘一个空间坐标系下的坐标转换阵的转置
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
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-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
