当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第9讲 连续体结构的有限元分析(2) > 9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程 > Video 9.1
同学们好，首先我们回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们学习了平面3节点三角形单元及MATLAB编程
平面4节点矩形单元及MATLAB编程
轴对称单元
分布力的处理
平面矩形薄板分析的MATLAB编程
平面矩形薄板的ANSYS分析实例
这一讲我们将讲解
空间4节点四面体单元及MATLAB编程
空间8节点六面体单元及MATLAB编程
参数单元的原理
数值积分
典型空间问题的MATLAB编程
最后我们将介绍典型空间问题的ANSYS分析实例
空间4节点四面体单元及MATLAB编程
首先进行节点的描述
我们看一下这个单元
这个单元有4个节点，节点1,2,3,4
每个节点有3个坐标(xi,yi,zi)
我们几何坐标就是1号节点到4号节点
分别给出它对应的3个坐标
节点的位移呢
每一个节点它有3个方向的自由度
也就是u,v,w
一共有4个节点，所以一共有12个自由度
也就是说它是一个节点位移的列阵12X1
那么和它对应的是节点力的列阵
同样也是，每个节点有3个力的分量
基于节点的描述，我们要进行单元的场的描述
要把三大类变量，也就是位移场、应力场、应变场
分别用节点位移来进行描述
首先进行位移场的描述
位移场我们就是要取位移模式
我们把所有节点的x方向的位移来对
x方向的位移场进行插值
也就是u(x,y,z)这个位移场
我们有4个
有u1,u2,u3,u4来进行插值
我们可以取4个待定系数
还是按照唯一确定性原则
从低阶到高阶这么一个位移模式的两个原则
我们可以设
对于y方向的位移场，也就是v(x,y,z)
同样我们也设定4个待定系数，分别是
对于z方向的位移场也是这样的
我们分别为
我们要用节点条件来求这12个待定系数
也就是说这个位移场在1号节点要等于ui,vi,wi
2、3、4号节点也要分别等于相应的节点位移分量
这样我们就可以得到一组方程组
由这个方程组我们把
a0,a1,a2,a3一直到c0,c1,c2,c3
把这12个系数全部求解出来
求解出来过后就把它表达成节点位移的描述
也就是说将12个待定系数用12个节点位移
也就是u1,v1,w1一直到u4,v4,w4来代替
这样我们重新来写位移场的函数
我们对x方向的位移也就是u(x,y,z)
把它可以写成
对于y方向位移分量的场，也就是v(x,y,z)
同样我们也可以写出来
对于z方向的位移分量，这个场的表达，就是w(x,y,z)
我们同样可以得到
其中这个Ni就是形状函数
它可以表达成坐标的函数
也就是说我们可以写成
这里面的ai,bi,ci,di这些系数都可以表达成
1、2、3、4号节点坐标的关系
相应的系数可以查阅相应的资料
我们把位移场函数写成矩阵形式
也就是说把3个分量写成一个列向量
这样我们就写出N1,N2,N3,N4这么一个组合的
3X12的N矩阵，我们叫形状函数矩阵
再乘上qe，也就是节点位移的列阵
对于应变场，首先我们由几何方程
几何方程，我们三维问题有6个独立的分量
也就是3个主方向的应变还有3个剪切的应变
我们把它写成一个算子矩阵乘上相应的3个分量的关系
这是一个偏导的6X3的矩阵
作用在位移上面
这个位移场我们前面已经得到了
它是N矩阵乘上qe列阵
我们把它代进去
也就是说对于这个几何算子矩阵，这个偏导矩阵
它就作用在N矩阵上面
这样我们就得到B矩阵
这个B矩阵我们同样可以进行一个计算
这样我们也通过几何方程把应变场表达成
一个几何矩阵乘上节点的位移列阵qe
具体对于几何矩阵的表达
它具体是作用在N矩阵上
对于每一个分块矩阵Bi
每一个分块矩阵都是6X3的
6X3具体的表达
它就是算子矩阵作用在3X3的这么一个对角线的
形状函数矩阵上面
具体也可以得到各个系数的表达
每个元素的表达
同样这些元素和前面形状函数里面的元素是一样的
在得到应变场的表达以后
我们再来看看应力场的表达
那我们只要把弹性系数矩阵作用在应变上
也就是说物理方程， 我们就可以得到应力的表达
这个应力的表达是6X1的
也就是说是有6个分量
那么我们把B矩阵乘D矩阵合到一块
相乘以后我们把它叫做应力函数矩阵
在得到了三大类变量的表达
也就是说把一个单元里面三大类变量的这个场
分别表达成我们所对应的节点位移的关系
也就是说位移等于
应变等于
应力等于
基于这些表达，我们再来看看这个单元的势能
我们都知道单元的势能是由应力乘应变
在整个域上进行积分
这是应变能减外力功
外力功是体积力乘上相应的位移
加上面积力乘相应的位移
我们把应力、应变还有相应的位移
当然这都是单元里的场的函数
把前面已经得到的场的表达代进去
这样我们就可以得到单元的应变能
表达成基于节点位移qe的表达式
具体表达出来就是
我们把中间这个积分叫单元刚度矩阵
同样后面也是，减去外力功这一块
这后面这个积分，我们叫单元节点的等效载荷
我们看看，单元的刚度矩阵等于
同样，如果有体积力和面积力的作用
通过形状函数矩阵对它进行作用以后
作出相应的积分
我们就可以得到相应的等效节点载荷
那么我们也是把单元的势能表达成基于节点的描述
那节点的位移就是我们的待定系数了
我们用最小势能原理对势能取极值
也就是对这个待定系数求偏导，让它等于0
这样我们就得到
这就是我们的刚度方程
这个是12X12，节点位移是12X1
节点载荷是12X1的
对于空间4节点四面体单元的性质我们进行一个讨论
首先看一下位移
我们看看位移场
前面我们基于节点位移进行了一个插值
也就是说唯一确定性、从低阶到高阶
我们分别对x,y,z方向的位移进行了一个插值
我们看一下，它是一个完全的线性函数
也就是它的描述能力是一个完全线性的描述能力
我们把这个关系代到应变场里去
应变场实际上就是一个偏导算子对它进行作用
前面完全线性的位移场代进去以后
进行这么一个算子矩阵的作用
我们就分别得到了一些系数
我们可以看看
这个应变场得到的各个分量全部都是系数
也就是常数
同样，应力场
应力场是在应变场的基础上
前面再乘上一个弹性系数矩阵
所以它也是一个常系数的各个分量
那么简单总结一下空间4节点四面体单元的性质
第一个就是单元内的应力及应变都为常数
所以也称为空间问题的常应力及常应变体单元
它和平面3节点三角形单元的性质是完全一样的
也是对应的
第二个性质就是单元的节点位移是在整体坐标系下建的
也就是说我们每一个节点都有3个分量
都是在整体坐标系下建立的
因此，没有针对节点位移的坐标变换的问题
第三个就是对于应变梯度较大
也就是变化比较剧烈的区域
那么我们这个单元由于是常应力或者常应变单元
它的计算误差是比较大的
对于变化比较剧烈的地方就一定要划更多的单元进行加密
这样才能得到比较满意的结果
对于空间4节点四面体单元的MATLAB编程
同样我们要定义3个函数
也就是说进行刚度矩阵计算的Stiffness
进行单元组装的Assembly
以及单元应力计算的Stress
对于Stiffness这个函数
要求输入弹性模量、泊松比
还需要输入4个节点的x,y,z坐标
输出是单元刚度矩阵k，它是12X12的
对于Assembly这个函数
它是输入单元刚度矩阵k
还要求输入单元的节点编号，也就是i,j,m,n
输出组装过后的整体单元刚度矩阵KK
对于计算单元应力的函数Stress
它要求输入弹性模量、泊松比
以及4个节点的坐标
还要求输入单元的位移列阵，u（12X1）的
它输出单元的应力Stress，它是6X1的
那这个6X1也就对应着这个体单元的6个应力分量
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
--Doc I-5
-【应用建模Project6】热应力分析：桁架结构的温度及装配应力分析
--Doc I-6
-【高级建模Project7】结构的概率：大型液压机机架的概率设计分析
--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
