当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第3讲 针对复杂几何形状变形体的力学描述(1) > 3.7 两类边界条件 > Video 3.7
本讲最后就是建立平面问题的两类边界条件
这个边界条件呢我们叫做boundary condition
简称叫BC
那么我们前面提到了我们处理复杂几何形状
这个思路呢是内部的描述，还有加上一个外部的描述
这个外部描述就是我们的边界条件
那么我们从图里面可以看出来
外部的边界有两类
一类呢就是约束，我们叫位移边界
还有一类呢就是外力作用，我们叫力的边界
那么这个力的边界加位移的边界
对整个复杂的几何体要进行完全的包覆
不能有其他的重叠，或者有间隙
那么有时候我们在看，好像有些地方是空的，没有
有些地方呢我们是有位移的约束
有些地方呢是加了力
那这个空的地方好像既不是位移的边界条件
又不是力的边界条件，这怎么理解
那么应该说我们有约束的地方
位移边界我们叫作Su来代表这个边界的
另外呢我们有力的地方呢，我们叫Sp
那么空的地方它是什么呢，它实际上也是力的边界
也就是说它的力为零而已，它也是Sp
也就是说Sp覆盖了除位移边界以外的所有的区域
包括自由的边界，它实际上也是力的边界
那么我们就把对象，几何体，我们叫Ω
那么我们把它的边界呢用一个偏Ω
不是偏导的意思，是它表面的意思
这个偏Ω，也就是它的表面
由Su加Sp组成的
Su呢就是我们的约束条件，就是位移边界条件
Sp呢就是我们力的边界条件
包括自由的，没有加力的地方也是力的边界条件
那么Su和Sp之间呢应该说是完全的没有搭接
也没有间隙
那么对于Su，位移边界条件呢
我们怎么描述呢
实际上我们只要给定Su
给定上面的位移等于指定的位移
也就是说x方向的位移u等于指定的位移u一横
y方向的位移等于指定的y方向的位移量就可以了
那么u一横v一横就为指定的位移
也就是我们给定的位移
那么我们写成指标形式，就可以写成ui等于ui一横
这个就是我们所给定的值
那么要注意一下
on Su也就是在位移的表面上
要满足这个位移边界
那么对于力的边界Sp
那同样呢我们要在力的边界地方取出一个微元
来建立它的平衡关系
我们注意一下这个微元呢，它是有一个外表面
加上内部的面
内部的面呢有内部的应力作用
那么每一个侧面，内部的面呢我们都知道
它总可以分解成两个方向
每个方向都有正应力，还有剪应力
那么外表面，它的法线叫n
那么它所作用的外力我们叫均布力
我们给出一个叫Px一杠
这个力呢我们写成分量的形式
x方向的分量形式，还有y方向的分量形式
它是一个分布的情况
那么同样我们取出一个这样表面的微元体
我们要建立它的平衡方程
它也是个体
它的平衡方程的话同样也有三个合力的平衡
跟我们前面内部的那个平衡方程一样
一样有三个
所有关于x方向合力的平衡，还有y方向的合力的平衡
以及绕任意一点的力矩的平衡
那么我们来看看
由微元体x方向的合力平衡，那么我们来构建
那注意，我们这个地方和以前情况有不一样的地方
我们没有x方向和y方向上的增量变化
那么我们看，x方向的合力
内部主侧面的力，就是σxx乘上相应侧面的面积
那么我们就有一个σxx乘上dy乘t
那它由于是负的x方向，所以它是一个负的合力
那最上面它的剪应力，沿着x方向，就是τxy
那么同样，它乘上相应的面积
也就是说dx乘上t
那同样它的方向呢也是负x方向
另外呢我们外力，就是Px，它是一个分布力
所以它要乘上一个微元体的侧面的面积
这个侧面呢，大家可以看，是一条斜的线
斜的线我们叫ds
那同样，它还有一个厚度是t
那么和就是它的合力，要达到一个平衡
那这样的话我们把这个方程同时除上一个ds还有t
我们就可以得到σxx乘上一个方向余弦nx
加上τxy乘上一个方向余弦y等于Px一杠
注意一下
我们这个地方的方向余弦nx就是dy除上一个ds
ny呢这个方向余弦就是dx除以ds
那么这个方程就是我们x方向的合力平衡的边界条件
那同样呢我们在y方向也建立相应的平衡关系
那么我们可以得到y方向的平衡方程
那么关于任意一点的力矩平衡
那么同样我们也可以得到τxy等于τyx
也就是说，剪应力互等
那么这三个方程，和前面平衡方程一样啊
我们把这个剪应力互等代进去
我们就把这三个力的边界平衡方程
变成两个独立的平衡方程
注意这个时候应力的基本的变量
就是σxx，σyy，那么τxy
其中τyx这个数字呢是等于τxy
相当于这个剪应力互等我们已经用进来了
那么我们把两类边界条件写成指标形式进行一个汇总
我们把平衡关系写成一个指标形式
这个指标形式呢同样呢我们可以写成
σij乘上一个方向余弦j
等于Pi一杠on Sp
那我们看一看我们这个指标
j在这一项里面是重复的，这个就是哑指标
哑指标就表明求和，所以说前面的两项相加
就是j呢分别变1、2，求和求出来的
那么i呢分别变1、2呢就是分别写出两个方程
那么这就是我们前面指标形式写出来的这个表达
最后呢我们把两类边界条件进行一个汇总
我们把位移边界条件叫做boundary condition
也叫BC（u）
我们叫位移边界条件
用指标形式写出来就是Ui等于Ui一横on Su
也就是说在Su这个边界条件上要满足指定的位移
那么我们把力的边界条件叫BC(p)
那么我们用指标形式写出来呢就是σij乘上一个
方向余弦nj，等于外部的分布力Pi一横
那么这个是在on Sp上面的平衡
这个里面可以看到Ui一横、Pi一横
这个都是给定的位移约束或者分布力
同学们，这一讲的内容就是这些
我们下一讲再见
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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