当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第7讲 杆、梁结构的有限元分析 > 7.4 梁单元的坐标变换 > Video 7.4
梁单元的坐标变换包含两种情况
一个是平面坐标变换
还有一个是空间坐标变换
我们首先考察一下平面梁单元的坐标变换
我们看一下局部坐标系是ox
整体坐标系是xoy上面带一横的
那么相应的节点位移
局部坐标系ox这个轴上有
u1,v1,转角θ1,u2,v2,θ2
对于整体坐标系
我们是u1一横，v1一横，转角也是θ1
对于2号节点，u2一横，v2一横，转角是θ2
那么我们考察一下它们的各个分量之间的投影转换关系
对于局部坐标系下的u1
它由整体坐标系下的u1一横和v1一横进行投影
那么投影关系就是乘上相应的cosα和sinα
对于局部坐标系的v1
它也是由整体坐标系下的u1一横和v1一横进行投影
这个时候的投影是乘上相应的负sinα还有cosα
对于两个坐标系的θ角，θ1和θ2
它都是一样的，因为转角是一样的
那对于2号节点在局部坐标系下的u2
它也是由整体坐标系的u2一横和v2一横来进行投影
同样局部坐标系上的v2也是由
整体坐标系下的u2一横和v2一横进行投影得到的
我们把这个投影关系写成一个矩阵形式
就得到局部坐标系节点的位移，6X1的列阵
等于转换阵6X6的，乘上q一横
它也是一个6X1的
那q一横是整体坐标系下的
这个坐标转换阵6X6的矩阵分别是
注意θ1对应的位置是1，因为它是相等的
这样就得到6X6的坐标转换阵
那么和平面杆单元的坐标变换类似
同样我们得到整体坐标系的梁单元的刚度方程为
这个K一横就是整体坐标系的刚度阵
它等于局部坐标系的刚度阵6X6
前乘一个坐标转换阵6X6的转置
再后乘一个坐标转换阵T
对于整体坐标系的节点力的列阵
它等于局部坐标系的节点力的列阵
前乘一个坐标转换阵的转置
对于空间梁单元的坐标变换
同样我们首先给出局部坐标系中的节点位移
它是在xoy坐标系里面的节点位移的列阵
它是个12X1的
它分别是u1,v1,w1,θx1,θy1,θz1
那对于2号节点也是一样，也有6个自由度
对于整体坐标系中间的节点位移
它是在xoy一横的坐标系里面
它也是一个12X1的节点位移的列阵
它分别是u1,v1,w1上面带一横的
同样，转角是θx1,θy1,θz1，也是带一横的
对于2号节点，同样也是6个自由度
我们分别对1号节点的平移的自由度
也就是u1,v1,w1进行一个投影的转换
我们可以得到局部坐标系的u1
它分别由整体坐标系的u1,v1,w1一横
进行cos方向余弦的相乘的这么一个投影
对于v1和w1也是这样的
对于转角，这个转角不太好理解
如果我们把转角用右手法则变为一个矢量
那么这个矢量的投影同样也满足我们刚才提到的
节点位移的那个投影关系
所以说转角的投影关系也是一样的
最后都可以写成一个转换阵λ3X3的
分别乘上整体坐标的位移
不管是平移位移还是转角，都是一样的
那么这个节点坐标的转换阵λ，它是一个3X3的矩阵
它是关于局部坐标轴和整体坐标轴
方向余弦组成的这么一个3X3的转换阵
对于节点2来说，和节点1类似
它也是不管是平移的位移还是转角的位移
它都满足λ3X3的这么一个坐标转换
那么我们把刚才的1号节点、2号节点
平移自由度和转动自由度全部合成到一块
写成一个总的转换关系，它就是
这个坐标转换阵T它是12X12
分别由λ3X3在对角线的3X3的子矩阵块上
其它都是0
这样组成的一个空间梁单元的坐标转换阵
有了它以后
我们就可以得到梁单元在整体坐标系中的刚度方程
它分别是
它的自由度是12
同样，整体坐标系的刚度阵也是等于
局部坐标系的刚度阵前乘一个转置
后乘一个坐标变换阵
对于节点力的列阵
它也是等于局部坐标系的节点力
前乘一个坐标变换阵的转置
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
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-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
