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前面我们提到了

在平面问题里面我们构建了平面矩形单元

还有在空间问题里面我们构建了正六面体单元

这两种单元在平面和空间问题里面

都是非常规则的单元

但是在真正应用中间

我们看看，对于曲边的这种实际的问题我们怎么用

比如以平面问题为例

这是一个曲边

那么如果我们在这个具有曲边的这个区域里面

如果要求用四边形单元来做

我们前面构建的是矩形单元，它是一个四边形

那这样的话我们在中间部分用矩形单元没有问题

但是在曲边的地方如果只要求用四边形单元

也就是说用矩形单元来做

那这中间一定有锯齿状

也就是说中间不能够填充

那这就需要我们用任意四边形单元来做

任意四边形单元对曲边具有很好的逼近性

所以我们能不能基于已经构建的标准的基准单元

也就是说矩形单元来做出具有任意四边形的单元

我们这些原理就叫参数单元

那么我们看看我们已经构建的是基准单元

我们这个坐标系叫(ξ,η)

因为它的坐标我们定义的都是

1,1,-1,1这四个节点

所以说节点的坐标已经是给定的

那我们真正用呢实际上是在物理坐标系中间

也就是说(x,y)坐标系里面

它是一个任意四边形

那么它的坐标是(xi,yi)，分别4个点

我们把在基准坐标系里面

也就是说(ξ,η)坐标系里面的单元叫基准单元

在真正实际应用中间的单元叫物理单元

对于物理坐标系中的单元

也就是任意四边形单元

我们有两种方法来构建

一种是直接构建

也就是说基于4个节点

同样我们按照前面的方法

进行位移模式的选取

基于节点来求取它的这些待定系数

同样可以来进行直接构建

这样的话工作量就比较大

那么还有一种方法就是我们已经构建了矩形单元

这个单元是很规范，已经做出来了

而且也比较简单

基于已经构建的基准单元

能不能走一个捷径

来构建或者来求出我们物理单元里面

我们要求的单元的刚度矩阵

那么我们把这种由基准单元

进行参数变换过后得到的物理坐标系下的单元

我们把这种单元叫做参数单元

也就是说它的参数是可以调整和变化的

那么这样的话就是要进行几何形状的映射

我们把具有几何形状映射的单元

我们叫参数单元

那我们看看

基准单元我们算刚度矩阵的时候

也就是说(ξ,η)坐标系下算的时候是

那么B矩阵里面肯定和坐标系的坐标

也就是ξ和η有关

那同样B矩阵里有算子

我们不是要算应变么

应变我们就由一阶导数

也就是说它有关于ξ和η的一阶导数的计算

这是在基准坐标系里面

那么在物理坐标系里面

也就是说实际的物理单元

同样，如果要构建它的话，它也是

在B矩阵里面它一定是关于x,y的函数

也就是坐标的函数

同样，它由于有应变的计算

它一定有关于x,y一阶导数的计算

那同样我们这里面还有一个面积的计算

我们看看如果要做参数单元

一定涉及到3个方面的变换

一个是坐标的映射

也就是(x,y)怎么映射到(ξ,η)

第二个是偏导数的映射

我们在实际的物理单元中

我们要算偏x和偏y的导数

我们怎么用已经做过的

在(ξ,η)坐标系里的偏ξ和偏η

怎么来进行一个变换

同样在这个面积

我们平面单元是面积，体单元是一个体积

也就是说dxdy的这个面积计算

和在基准坐标系里面的dξdη的面积计算

这中间怎么进行映射

也就是说我们要进行3个方面的映射的表达

首先是坐标函数的映射

也就是说(x,y)坐标系怎么映射到(ξ,η)里面去

那么我们看看

我们把两个坐标系的几何形状分别画出来

那么基准坐标系里面有4个节点

同样在(x,y)坐标系里面也有4个节点

这4个节点分别是(x1,y1),(x2,y2)

一直到(x4,y4)

这几个位置的位置点是给定的，也就是坐标是给定的

那么我们想，这两个几何形状之间有一个映射函数

我们把这个函数设成x(ξ,η)的函数

y是y(ξ,η)的函数

同样这个函数要基于刚才4个节点的对应关系

把这个函数表达出来

那么我们看看，4个节点有个对应关系

所以我们把x,y分别取4项待定系数

同样我们还是按照以前的说法

唯一确定性、从低阶到高阶

我们有4个待定系数

由4个节点条件来求

所以我们分别取

y方向同样也是取

一共有8个待定系数

那么我们把节点条件代进去

这样我们就可以把这个插值函数

写成N函数乘上相应的节点的位置

对于x(ξ,η)这个函数来说就是

那么这个N函数为了区别我们前面讲的

位移场的插值函数的表述

我们把这个N上面带一个~

那么我们看看，如果4个节点的话

它的插值关系和前面基于节点位移的那个插值关系

实际上是一样的

注意我们这是坐标的插值

以前我们讲的是位移场的插值

但是它的插值关系还是类似的

同样它的插值关系，这个Ni同样也可以写出这么一个关系

和前面的是一样的

那么我们把每一个点的坐标同样也写成一个列阵

分别是x1,y1一直到x4,y4

我们把4个点，每个点两个坐标，也就是xi,yi

我们排出来，就是8X1的，这么一个坐标值的列阵

这样我们就把上面得到的这个插值关系用矩阵表达出来

也就是

这个~是表示几何形状的插值关系

在得到了(x,y)和(ξ,η)之间的映射关系以后

我们来表达偏x、偏y和偏ξ、偏η之间的关系

假定在(x,y)坐标系中间有一个函数，我们叫Φ(x,y)

我们分别对ξ求偏导

我们可以得到这么一个表达，分别为

得到这么一个关系

同样对于偏η也是这样一个类似的关系

我们把这个函数的Φ去掉

得到这么一个算子的偏导数的映射关系

我们把这个偏导关系写成一个矩阵形式

就得到这么一个表达

这个地方的J我们叫Jacobian矩阵，它分别是

我们把它叫作Jacobian矩阵

我们要求出偏x和偏y的这么一个显式表达

我们把这个Jacobian矩阵求逆，把它倒到前面去

这样我们就可以得到偏x和偏y的这么一个偏导的映射关系

这个映射关系具体写出来就是这样的

这个里面这个J，也就是说Jacobian矩阵是一个行列式

第三个变换就是面积，对三维空间就是体积的变换

也就是说怎么在物理坐标系里面求面积

就是dxdy这个单元的域求积分怎么变到

dξdη基准坐标系里面这个单元的面积

那么我们就要用到微分几何了

我们来看看

我们把实际物理坐标系的单元形状我们把它表达出来

这是(x,y)坐标系里面

我们在这个坐标系里面我们同样

也把ξ,η同样也表达到这里面来

就是变换以后的ξ和η这么一个坐标

那么我们在这里面取出一个小的微段dξ和dη

它的面积和我们(x,y)坐标系下的面积dA

就是一个叉乘的关系，然后取它的模

我们把物理坐标系(x,y)的微段dξ

用x方向的单位矢量i还有y方向的单位矢量j

把它表达出来

这是微分几何里面

就是这么一个表达式

同样dη这个矢量也可以表达成

(x,y)坐标系里面的单位矢量i和单位矢量j这么一个关系

那么我们把它代入这里面来，再写成矩阵表达

我们就可以得到dA

也就是(x,y)坐标系里的面积dA就可以表达成

Jacobian矩阵的行列式乘上dξdη

类似的，在三维问题中的体积

由微分几何

我们最后计算以后可以得到

在有了三个方面的坐标变换

也就是说坐标的变换、偏导的变换

面积的变换或体积的变换以后

我们就来计算B矩阵的变换

我们看看

因为我们在刚度矩阵计算中要用到B矩阵

我们在(x,y)坐标系中的几何矩阵的计算，我们看看

B矩阵中间涉及到x,y,偏x,偏y

我们分别把前面已经得到的三个方面的变换

比如这个地方涉及到偏导

我们把前面变换2代入

如果我们涉及到形状矩阵

这里面涉及到x,y，我们把前面得到的第一个变换

就是变换1把它代入

这样我们就可以得到变换以后的

在(ξ,η)这个坐标系里的几何矩阵

我们把这个几何矩阵写为B矩阵，上面带一个*

有了几何矩阵B矩阵的这么一个变换

就可以来计算单元刚度矩阵它的变换

我们看看，这是在物理坐标系里面

也就是(x,y)坐标系里需要进行计算的刚度矩阵

那么这个表达出来就是

当然这个B矩阵我们可以看看

它是x,y的函数，也是偏x,偏y的函数

那么前面已经得到了刚才的变换

也就是说x,y可以变换成ξ,η

偏x,偏y可以变换成偏ξ,偏η

还有一个dA

同样把dA变换成dξdη

当然前面要乘一个Jacobian矩阵的行列式

这样我们把(x,y)坐标系的刚度矩阵的计算

就变成在(ξ,η)坐标系里面要进行的一个计算

计算的积分区域是-1到1这么一个区域

那么对于参数单元我们看看

这是一个平面的参数单元

这个方框是几何形状的节点

这个实心的点是位移节点

当几何形状插值的形状函数矩阵里面的阶次

等于位移节点，也就是说位移插值的这个阶次

当两个相等的时候，我们就把这种单元叫等参元

它是可以保证收敛的

当我们的几何形状插值比较少

比如这个问题里面是4个点进行几何形状插值的

而我们的节点位移的插值是用了8个点

这样我们就可以看出来

几何形状的插值函数N波浪的阶次

它是小于位移场的插值函数的

我们把这种单元叫亚参元

亚参元它也是可以保证收敛的

当我们几何形状的插值用得比较多

比如曲边的情况

但是在位移插值的节点用得比较少

比如在这个问题里面

4个节点是位移的插值

而8个节点是几何形状的插值

也就是说N波浪的阶次是大于位移形状函数的阶次

这个情况我们叫超参元

这种超参元往往在单元细化以后不能够保证收敛