当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第2讲 基于直接刚度法的杆系有限元方法 > 2.4 一个四杆结构的实例分析 > Video 2.4
下面基于前面讲的有限元杆单元的基本的原理
来进行一个四杆结构的实例分析
我们分两个方面
一个就是用理论推导
完整地把四杆结构的有限元分析展示一遍
后面呢，我们再基于ANSYS平台
再进行相应的ANSYS平台上的一个实例
软件的实现的一个过程的分析
我们看一下这个四杆结构
现在是一个平面的四杆结构
这是它的长度，这是高度
我们对它进行一个编号
1号节点、2号节点、3号节点、4号节点
那么这个单元呢我们也进行一个编号
这是1号单元、2号单元、3号单元、4号单元
我们也可以看出来
1号节点呢，它有X方向Y方向上的约束
2号节点呢，有一个Y方向的约束
4号节点也一样，有X方向和Y方向上的约束
外力分别作用在2号节点的X方向
还有3号节点的Y方向上
整个结构呢，大家的弹性模量都是一样
同样，这个四杆结构的横截面面积大家都是一样
那首先我们对这个结构进行离散化和编号
那我们把刚才的编号列成一个表
我们就可以分别看出来，对于1号单元
它是1号节点和2号节点组成
2号单元是由3号节点、2号节点组成
同样，3号单元、4号单元也有相应的对应的节点
那我们把每一个节点的坐标分别进行编号
给出相应的坐标
同样呢我们也把每一个单元它的长度给出来
同样也把它的方向余弦给出来
因为要进行坐标变换
然后第二步呢就是对各个单元进行一个矩阵的描述
也就是说对每一个单元
我们都可以给出相应的刚度矩阵
也就是说有个刚度矩阵以后
乘上相应的节点位移
我们就可以得到相应的平衡关系
那么我们对1号单元我们按照前面坐标变换的这种方式
我们可以分别给出
1号单元
2号单元
3号单元
以及4号单元的刚度矩阵
注意一下，看起来每一个都是4乘4
就是差不多
我们看起来K（2）数字和K（4）单元完全一样
但实际上这是两个单元
在不同的位置
我们怎么区别呢，大家一定要注意
我们在每一个刚度阵相应的矩阵的位置上都有个编号
大家一定要注意
你比如K（2）这个地方
它分别对着u3、v3、u2、v2
这什么意思呢
就是它所对应的节点位移的编号位置
你比如K（4）
它分别对应着4号节点的u4、v4
还有3号节点的u3、v3
所以说2号单元和4号单元它的矩阵一样
但是它对应着位置
也就是说对应的节点的编号，它的自由度是不一样的
第三步呢就是基于每个单元的刚度矩阵
也就是说得到它的描述
我们要建立整体的刚度方程
它的基本思想就是组装
也就是说把每一个单元的刚度阵进行一个叠加
注意这个叠加一定要找到对应的节点编号
以及节点编号所对应的节点的位移
来进行相应的叠加
也就像我们前面所讲的那个弹簧单元
两个弹簧单元叠加一样
相当于每个单元要进行扩充
都扩充成所有的节点位移的那么一个矩阵
这样才进行叠加
叠加过后我们的节点位移我们重新排序
就是1号节点的两个分量叫u1、v1
2号节点的两个分量叫u2、v2
3号节点u3、v3
4号节点u4、v4
然后我们还有节点力也要进行一个叠加
那么我们知道1号节点两个方向的节点力
实际上是两个支反力
我们用Rx1、Ry1来代表
那2号节点的X方向的力它实际上就是外力
就是我们的2×10^4N
2号节点的Y方向因为有约束的作用
它是一个支反力，也就是Ry2
那么3号节点，它实际上一个自由节点
它X方向没有受外力，所以说它的外力为0
那Y方向有一个负的2.5×10^4N这么一个外力
4号节点的外力呢就是4号节点的支反力
也是Rx4、Ry4
这样我们就得到了节点位移的描述和节点力的描述
其中，这个是节点1处的支反力
这个呢是节点2处的支反力
这是节点4处的支反力
我们按相应的节点位移
把每一个单元的刚度矩阵进行叠加
叠加以后我们得到了一个整体的刚度方程
是这样的
好，这就是我们所得到的
整体的刚度方程的具体的一些数据
这个就是我们的整体的节点的位移
这就是我们所有的节点外力
基于这个整体刚度方程，我们要进行求解
所谓第四步就是边界条件的处理及刚度方程的求解
我们知道，1号节点和4号节点
X方向和Y方向都是完全固定的
它的位移为0
2号节点Y方向是约束的，它是为0
把这五个边界条件代入刚度方程里面去
实际上相当于划行划列，把相应的去掉
剩下的刚度方程就是这样的
那它就是关于2号节点的X方向的位移
和3号节点的X方向和Y方向的位移的一个方程
那么我们求解这个方程，就得到了相应的节点位移
再把刚才已经处理边界条件的那个位移条件写在一块儿
我们就可以得到所有节点位移的位移值
这是对应到u1、v1、u2、v2、u3、v3、u4、v4
这样所有节点的位置我们都已经得到了
还是基于刚才处理边界条件以前总的刚度方程
那么我们把位移结果代进去
就可以把未知的节点的支反力全部计算出来
这样我们就得到了所有支反力的情况
这样我们就完整的把四杆结构的所有的信息
就是节点位移，包括支反力、节点力
还有就是单元的应力，全部求得
以上是我们做的四杆结构的有限元的完整的过程
实际上大家可以看得出来
这个整个的计算流程非常规范，也非常标准
但是非常繁琐
真正我们在做大规模复杂结构的时候
如果用手工来做，当然是非常不容易的
甚至有时候是做不到的
所以我们一般来说要用计算机软件
来实现这些标准化规范化的流程
下面要基于ANSYS软件来完整地
对这四杆结构进行一个实例分析
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
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