当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第5讲 变形体力学方程求解的试函数方法的原理 > 5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理 > Video 5.4
能量原理主要包含虚功原理还有最小势能原理
我们下面先讲解一下虚功原理
虚功原理里最主要的概念就是虚位移
那么我们假定有一个平衡的杠杆的力系
在a点作用有PA
在b点作用有PB
那么它又是平衡的
所以它有一个力矩的平衡
那么这个方程就是
这是平衡方程
假定我们这个杠杆的平衡力系有一个微小的扰动
这个扰动假定是微小的
它不影响整个的平衡
所以说它要满足一个几何方程
这个几何方程就是
也就是说它是一个几何协调的一个关系
这样才满足平衡
那么我们称任意扰动的位移
所满足平衡条件的这些位移成为许可位移
我们把这个条件，也就是这个几何方程
称为许可位移的条件
我们把满足许可位移条件的任意微小位移称为虚位移
当然这个虚位移是一个假想的
我们把平衡方程和由于微小扰动引起的几何方程把它代入
也就是说把lB和lA代掉，我们就得到
那么我们分析一下这两项
第一项是
这一点呢就是我们都知道，功是力乘上位移
由于位移是假想的虚位移
所以我们称这点力在位移上所做的功称为A点的虚功
那么在B点，同样PB也是有一个位移
这个位移是ΔB
那么我们可以看，这个时候的ΔB是向上的
这个力FB是向下的
所以说我们B点的虚功就是
那么这个方程我们就可以理解为
对于一个处于平衡状态的体系
当作用有满足许可位移条件的虚位移时
系统上的所有虚功总和恒为零
那对于弹性体，我们弹性力学里面
我们同样引入虚位移和虚功的概念
那么我们知道变形体上的受力状态有外力、内力
内力实际上就是应力
那么假定也有一个微小的扰动
这个扰动同样会引起
我们把这个扰动叫虚位移
由于虚位移引起外力所做的功我们叫外力虚功δW
同样，整个系统的内力也要做功
当然这也是在虚位移作用下的虚功
我们把内力虚功叫-δU
这个δU实际上就是虚应变能
由于它是内力也就是应力，在变形体内部
所以它是弹性体在变形过程中克服变形所产生的
所以它的方向总与变形的方向相反
所以说内力虚功是取为负
那么我们由虚功原理，虚功总和为零
也就是说δW-δU=0
那么我们把它移项得δU=δW
那么左边这一项δU就是虚应变能
右边这一项叫虚外力功，也叫外力虚功
那么我们以梁的弯曲问题
简支梁问题为例
我们用虚功原理来进行求解
同样，这是控制方程，这是边界条件BC(u) BC(p)
和前面的加权残值法一样
我们设试函数，基底函数是
待定系数是c1
我们可以验证，这个位移它是满足边界条件的
我们称为许可位移
我们对待定系数c1进行一个微小的变化
那么由此引起的整个的挠度也有一个微小的变化
那么这个就叫作虚位移场
对于简支梁，我们要算一下它的虚应变能
虚应变能的计算是内力，也叫应力
乘上应变，当然这个应变是虚应变
是由于虚位移引起的
我们对整个几何域进行积分
这样我们就可以得到虚应变能
那么我们把应力和应变
我们通过粱的弯曲问题的几何方程乘上一个弹性模量
这个就是物理方程
我们来计算它的应力和应变
注意，我们这个地方由于是虚应变
所以虚应变一定要作用于虚的挠度上面
所以δ要作用在挠度上
我们进行积分计算
我们把对于横截面的这个积分定义为I
它就是我们梁的横截面的截面的惯性矩
那么剩下这些呢对于0到l进行积分
我们最后算出来的积分就得到
前面是系数
另外就是关于c1，还有一个δc1
也就是刚才提到的由于虚位移引起的待定系数的微小变化
那么简支梁的外力虚功δW
同样，这个外力是均匀的分布力P0，挠度是v
虚位移是在v前面加一个δ，也就是说它有一个微小变化
同样我们把前面设定的v这个函数代进来以后进行积分
就得到这个系数乘上一个δc1
这个δc1也是系数的微小变化
由虚功原理δU=δW
也就是说虚应变能等于虚外力功
那么我们把前面计算得到的结果代入
我们就得到这么一个方程
这个方程由于两边都有δc1
我们把它提出来，这样我们就得到这个方程等于零
大家注意一下，δc1刚才说了
它是虚位移引起的待定系数的微小变化
由于是虚位移，它具有任意性
也就是说它不恒为零
所以说要使得这个式子恒为零
只有让前面这个系数项恒为零
由此我们可以得到这么一个方程
由这个方程解出c1等于这么一些系数
我们把这个c1代到我们设定的位移模式中间
就可以求出满足虚功原理的位移
我们就得到这个解
我们可看出这个结果，得到的这个系数c1
它和前面Galerkin方法得到的结果是一样的
主要原因是我们取了相同的基底函数
从这个过程就可以看出
虚功原理和加权残值法也是类似的
只是在试函数的范围内寻找最好的解
都是基于这么一个原理
当然由于取的这个基底函数不一定是精确的
所以说这个结果一般来说也不是精确的
所以这个精度主要是取决于事先所假定的位移的模式
也就是试函数
如果事先假定的试函数模式中包含有精确解的基底
那么由虚功原理求得的解一定是精确的，也就是解析解
所以对于试函数的选取是个关键
试函数直接影响我们的求解精度
那么我们用最小势能原理来求解一下简支梁的问题
同样我们设有满足位移边界条件的许可位移场v(x)
那么最小势能原理呢它是要计算一个总势能
总势能等于应变能减外力功
其中的应变能是U等于1/2应力乘应变
在定义域里积分
外力功呢对于我们这个梁的弯曲问题
我们是均布载荷，那就是P0乘上一个我们所设定的挠度
同样在这个力的分布范围内进行一个积分，这是外力功
那势能等于这两个部分，就是说应变能减外力功
那最小势能原理就是说
我们在所设定的许可位移场中间
也就是说v(x)上面带一个三角
真实的解使得系统的势能取极小值
那么我们具体对受均布载荷的简支梁
用最小势能原理来进行求解
同样这是控制方程，这是边界条件BC(u) BC(p)
我们取两项试函数
同样c1,c2是待定系数
那么我们首先计算这个简支梁系统的应变能
应变能等于1/2应力乘应变，在整个域积分
那么我们前面已经得到应力和应变
都可以表达成挠度的二阶导数
应力乘应变，所以它有一个平方
那么我们把前面所设定的试函数
这两项都把它代进来，我们来作积分
最后作出来是关于c1和c2的平方项的
这么一个应变能的表达
同样我们来计算外力功
我们把试函数代进来再乘上一个P0
同样我们来作这个积分
也得到一个关于c1和c2的表达
那么系统的总势能Π
是等于应变能减外力功
我们把前面算出来的应变能和外力功代到总势能里
为了使得系统的势能取极小值
所以我们对c1和c2分别求偏导
让一阶导数等于0
这样的话我们就等到关于c1和c2的方程组
分别解出c1和c2这两个系数
再代到我们的挠度函数，也就是试函数里去
我们就得到最后的这个结果
那么这个结果和虚功原理求出的结果实际上是相同的
这也是因为我们两种方法都取了相同的试函数
那么这个求解方法呢
也就是说最小势能原理的求解方法也叫瑞利-里兹方法
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
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--Doc I-8
