当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第10讲 有限元方法中的基本性质 > 10.7 有限元分析数值解的精度与性质 > Video 10.7
我们先讨论一下有限元的求解精度问题
以平面问题为例，单元位移场可以展开为
如果单元的尺寸为h
也就是说上面这个式子里面Δx,Δy是h量级的
如果我们的位移场函数采用的是p阶完全多项式
那么它截断误差就是p+1
当然我们的Δx,Δy刚才提到了，它是h量级的
如果应变是位移的m阶导数
那么同样，要求m阶导数
所以它的误差阶次就要减一个m阶
而应变能是应变的平方项的表达
所以它误差的量级是
h的指数是2（p+1-m）
那么我们具体来用一下这个求解精度的估计
我们考虑一个两次网格划分的计算
假定第一次网格划分，我们网格尺寸是h
这个时候得到的结果是ui，这是第一次的
第二次我们进行网格的细分，细分的网格是细分一倍
也就是说网格的尺寸是h/2
这个时候得到的结果是ui，这个上面是2
假定准确解是ui
那么第一次得到的结果
也就是说有限元的结果减一个精确解
它的误差量级是h的p+1次
对于第二次也一样
由于这个时候是细分的，所以它的尺寸是h/2
同样它的阶次是p+1次
我们具体化
我们对一个平面3节点三角形单元
这个时候p=1，也就是取的完全的线性项
p+1=2
这样我们把刚才的估计式具体化
上面就得到了h的平方的量级的误差
下面是h/2的平方的量级的误差
我们大致估计一下，这两个一除
它就是4倍的关系
我们通过这个方程把ui解出来，它就等于
当然这只是一个初步的估计
真实的情况还非常复杂
因为它涉及到一些局部区域和整体区域的一些关系
也涉及到计算机的数值计算的误差
那么有限元分析是基于最小势能原理
我们看看，对象的总势能是可以表达成应变能减外力功
应变能是等于
由最小势能原理我们得到了刚度方程
我们考虑平衡时候的弹性系统的势能
我们把这个方程作一个代换
我们把刚才的刚度方程代到这里面来
然后前后两个一组合，我们就得到势能等于
这恰好就是等于负的应变能
也就是说等于负的U
它也等于-W/2，也就是说等于-1/2外力功
所以对于弹性问题来说
我们知道外力功，也知道应变能
就可以计算它的势能，互相是可以转换的
由最小势能原理的精确的解，或者精确的势能
它应该是最小的
所以我们把这个Πexact叫精确的势能，它是最小
所以我们近似的势能总是比它大
由刚才的势能公式，势能等于-U，也就是负的应变能
所以我们用应变能来表达就是
近似的应变能要小于精确的应变能
对于同一个问题
我们有近似的刚度矩阵，近似的位移
有精确的刚度矩阵，有精确的位移
因为在同一个问题中，载荷是一样的
我们来考查一下它们之间的关系
对于近似的，我们的应变能是按照这样来算的
对于精确的，也是按这样来算的
我们也知道，近似的要小于精确的应变能
我们把这两个公式代进来
再把刚才我们所得到的这一部分等于P代进去
这样我们就得到总体来说近似的位移
我们用模的方式来代表，它是小于精确的位移
所以我们有限元的解，它是近似的
它是具有下限性质
下限性质就是说它是偏小的
同样我们来看看
有限元模型Kq=P
实际上有限元它是用有限的节点和有限的单元
来逼近一个无限的自由度的对象
所以用有限的来逼近一个无限的
它总是使得刚度矩阵的数值变大了，也就是说变刚硬了
这样K就变大了
如果P外力不变
那这个时候q就要变小
刚才我们前面也分析了
我们用有限元算的位移值总体来说是偏小的
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
-【应用建模Project5】传热分析：钢制圆柱冷却过程温度场的瞬态问题
--Doc I-5
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-【高级建模Project7】结构的概率：大型液压机机架的概率设计分析
--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
