当前课程知识点：有限元分析及应用 > 第1讲 引论 > 1.3 微分方程求解的方法 > Video 1.3
下面我们来讲解微分方程求解的方法
所以我们通过一个实例简单看看微分求解的一些主要方法
我们看一下左端固定的一个一维问题的拉杆
沿拉杆的长度方向它受一个均布的载荷P
拉杆的弹性模量为E
横截面面积为A、长度为L
它是一个一维问题
所以我们用基于X描述的位移场来描述它
也就是X取不同的值
描述不同位置的位移
它的三大类方程的构建就忽略了
我们可以直接得到关于位移场的微分方程
由于它是一个1D问题，所以它是一个二阶常微分方程
这里的基本变量是U(x)，它就是位移场
边界条件是左端固定
也就是说U在X=0的位置处为0
右端为自由端
也就是说它的一阶导数在X=L的位置处为0
针对这个方程
在这样的边界条件下进行求解
我们介绍主要的三种方法
第一种方法叫解析法
解析法求解二阶常微分方程很简单
我们可以直接得到位移函数是一个二次函数
这些变量都是这里面的系数
通过边界条件来确定的
我们重点来介绍第二种方法
近似的方法
用差分方法来作求解这个微分方程
首先差分要把这个复杂对象分成若干段
我们要取节点
在这个问题里面我们取6个节点，分成5段（此处以字幕为准）
那么涉及到一个二阶导数
二阶导数用差商或差分来代替这个导数
针对1节点2节点3节点4节点
分别建立相应的用差商代替微分的方程
注意左端点固定，即边界条件U0=0
右端点涉及到U5
它是一阶导数为零
可以得到U5=U4
这样就能保证它的一阶导数为零
这也是一个边界条件
把这两个边界条件代入到
针对1、2、3、4节点所建立的差分方程
可以得到一个线性方程组
它的基本变量就是1号节点
2号节点、3号节点、4号节点的位移
对这个线性方程组进行求解
容易得到1号节点到4号节点的位移值（视频有误，应依次为0.16、0.28、0.36、0.4）
当然为了提高计算精度
可以取更多段的差分
比如取n段
同样我们可以得到针对1到n-1
这n-1个节点的线性方程
同样带入边界条件U0=0
Un=Un-1这样的边界条件
代入后可以唯一求出1到n-1节点的位移值
我们把几种情况的计算结果列表进行对照
我们看一下分5段、 分50段、分100段、分500段
还有解析解的情况
随着细分，我们的结果越来越趋近于我们的解析解
我们再介绍基于试函数的近似方法
它的基本思想是
这是控制方程
这是边界条件
它的思想是我们假定有一个解
这个解里面有待定系数
这个解叫做试函数
把这个解首先代入边界条件
让它满足边界条件
或者说我们寻找满足边界条件的试函数
来作为我们设定的试函数
当然里面有待定系数
然后把设定好的试函数再代入控制方程
很显然，代入之后是不满足的
除非所设定的试函数碰巧是解析解的试函数
代入之后刚好满足，那就是精确解
大多数情况下，我们并不知道它的精确解
所以代入之后肯定是不满足控制方程的
我们设定它的残差函数
让它的残差函数最小来确定它的待定系数
我们举个例子
对于刚才那个左端固定受均布载荷的拉杆问题
我们设定一个试函数
C1为待定系数， 基底函数为φ1
我们看下边界条件
左端点固定， 右端点一阶导数为零
所以我们设定基底函数为sin函数
它刚好可以精确满足这个边界条件
我们把带有待定系数的试函数
以及满足边界条件的试函数代入控制方程
发现这个函数不等于0
我们把这个函数叫做残差函数R（x）
我们让R（x）乘上基底函数
把基底函数作为加权函数
也就是说对残差进行加权以后
在整个域里面0到L进行积分
最后确定出待定系数C1
获得的最后结果也就是基于试函数的解
就可以表达成sin函数再乘上前面的系数
为了进一步改善求解精度
我们还可以取多项的试函数
比如我们取φ1，第一项试函数
再取φ2、 第二项试函数
让它们前面分别乘以相应的待定系数进行线性组合
当然这两个试函数，基底函数都要满足边界条件
组合以后肯定满足边界条件
具体来说取一个sin函数，再取一个sin(3πx/2l)的函数
可以验证这两个函数都是满足边界条件的
同样把取得的试函数代入到控制方程
把代入试函数以后的控制方程的函数叫做残差函数R（x）
将残差函数分别对φ1和φ2进行加权
加权以后进行积分以后等于0
最后求出这两个待定系数C1、C2
可以得到基于两个基底函数的试函数获得的解
同样我们把取一项试函数和取两项基底函数的这两种情况
和解析解进行对照，分别在不同的位置上
很明显，当我们取两项试函数的时候
它的解很逼近于解析解
我们再对刚才所介绍的三种方法进行讨论
首先讨论求解的精度
以解析解作为基准
基于差分方法获取的解，刚才所说的分成50段
100段、500段的情况下获得的解都非常精确
都很接近于解析解
基于试函数，基于一个基底函数的解是这条曲线
它和解析解还是有一定误差
当我们取两个基底函数的时候，它的解非常接近于解析解
也就是说解析精度，近似程度非常高
第二个讨论这几种方法的特点，并进行比较
对于解析方法，它的求解过程就是直接解微分方程
相对来说，它的求解难度比较高，求解精度没问题
它的方法规范性需要很高技巧
由于我们问题是1D问题，比较简单
稍微复杂的2D和3D问题， 一般来说要获得解析解非常困难
所以说它的解题范围，只能针对简单问题来求出解析解
近似方法也就是数值方法我们刚才介绍了两种
一种是差分法，还有试函数法
对于差分法，它的求解过程就是把微分用差商来代替
最后获得线性方程组，最后进行求解
它的难易程度比较简单，求解精度比较高
但是它的计算量比较大
刚才我们分成50段、100段、500段的时候
精度比较高，但计算量比较大
它的方法规范程度还是不错
它可以处理比较复杂的问题
试函数法也是数值方法
它的求解过程需要先假设一个试函数满足边界条件
然后代入控制方程，对控制方程加权以后让它取极值，取0
最后获得线性方程组
它的技术关键就是需要找满足全场的试函数
还要满足边界条件
应该说方法比较简单，计算精度比较高，计算量比较小
刚才我们取两项基底函数就可以获得很高精度
但是这个方法的规范性
只要试函数确定，后面整个求解流程都非常规范
它的适应范围也是不错的
但是它最关键的是怎么获取试函数
而且是全场试函数要满足边界条件
刚才提到的试函数法和差分法
这两个方法在工程中广泛应用
它主要特点是求解代数方程，容易编程
适合于工程中复杂问题求解
相对来说，试函数法更为简单，计算量比较小
关键就是如何构造满足边界条件的全场的试函数
针对复杂的几何域怎么来构造试函数
这是一个关键
-有限的单元 无限的能力
--Video
-课程大纲
--课程大纲
-第一章第一节测试题
-1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学
-第一章第二节测试题
-1.2 变形体力学的要点
-第一章第三节测试题
-1.3 微分方程求解的方法
--勘误
-第一章第四节测试题
-1.4 关于函数逼近的方式
-第一章第五节测试题
-1.5 针对复杂几何域上的函数表征及逼近
-第一章第六节测试题
-1.6 有限元的核心：针对复杂几何域的分片函数逼近
-第一章第七节测试题
-1.7 有限元发展的历史和软件
-课后讨论
--讨论题
-课后练习
-第二章第一节测试题
-2.1 弹簧的力学分析原理
-第二章第二节测试题
-2.2 弹簧单元与杆单元的比较
-第二章第三节测试题
-2.3 杆单元的坐标变换
-第二章第四节测试题
-2.4 一个四杆结构的实例分析
-2.5 四杆结构的ANSYS实例分析
--ANSYS
-课后讨论
--讨论题
-第三章第一节测试题
-3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设
-第三章第二节测试题
-3.2 指标记法
-第三章第三节测试题
-3.3 关于三大变量及三大方程的思路
-第三章第四节测试题
-3.4 平面问题的平衡方程构建
-第三章第五节测试题
-3.5 平面问题的几何方程构建
--勘误
-第三章第六节测试题
-3.6 平面问题的物理方程构建
-第三章第七节测试题
-3.7 两类边界条件
-课后讨论
--讨论题
-第四章第一节测试题
-4.1 几种特殊情况的讨论
--勘误
-第四章第二节测试题
-4.2 简单拉杆问题的完整弹性力学求解
-第四章第三节测试题
-4.3 平面纯弯梁的描述及求解
-第四章第四节测试题
-4.4 空间弹性问题的完整描述
--勘误
-第四章第五节测试题
-4.5 关于张量的描述及理解
-课后讨论
--讨论题
-第五章第一节测试题
-5.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法
-第五章第二节测试题
-5.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法
-第五章第三节测试题
-5.3 如何降低对试函数的高阶导数的要求
-第五章第四节测试题
-5.4 平面弯曲梁求解的虚功原理
-第五章第五节测试题
-5.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础
-第五章第六节测试题
-5.6 一般弹性问题的能量原理
-课后讨论
--讨论题
-第六章第一节测试题
-6.1 基于试函数的经典方法与有限元方法
-第六章第二节测试题
-6.2 有限元方法中的自然离散与逼近离散
-第六章第三节测试题
-6.3 有限元方法中的基本步骤
-第六章第四节测试题
-6.4 经典方法及有限元方法的比较
-课后讨论
--讨论题
-第七章第一节测试题
-7.1 局部坐标系中的杆单元构建及MATLAB编程
-第七章第二节测试题
-7.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建及MATLAB编程
-第七章第三节测试题
-7.3 局部坐标系中的一般梁单元构建(组装)
-第七章第四节测试题
-7.4 梁单元的坐标变换
-第七章第五节测试题
-7.5 分布力的处理
-7.6 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程
--【知识点7.6】 门型框架结构的实例分析及MATLAB编程(PDF)
-7.7 门型框架结构的ANSYS实例分析
--【知识点7.7】 ANSYS算例-门型框架结构有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第八章第一节测试题
-8.1 平面3节点三角形单元及MATLAB编程
-第八章第二节测试题
-8.2 平面4节点矩形单元及MATLAB编程
-第八章第三节测试题
-8.3 轴对称单元
-第八章第四节测试题
-8.4 分布力的处理
-8.5 平面矩形薄板分析的MATLAB编程
--【知识点8.5】 平面矩形薄板分析的MATLAB编程(PDF)
-8.6 平面矩形薄板的ANSYS实例分析
--【知识点8.6】 ANSYS算例-平面矩形薄板有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第九章第一节测试题
-9.1 空间4节点四面体单元及MATLAB编程
-第九章第二节测试题
-9.2 空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
-第九章第三节测试题
-9.3 参数单元的原理
-第九章第四节测试题
-9.4 数值积分
-9.5 典型空间问题的MATLAB编程
--【知识点9.5】 典型空间问题的MATLAB编程(PDF)
-9.6 典型空间问题的ANSYS分析实例
--【知识点9.6】 ANSYS算例-典型空间问题有限元GUI操作与命令流(PDF)
-课后讨论
--讨论题
-第十章第一节测试题
-10.1 节点编号与存储带宽
-第十章第二节测试题
-10.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
-第十章第三节测试题
-10.3 边界条件的处理与支反力的计算
-第十章第四节测试题
-10.4 位移函数构造与收敛性要求
-第十章第五节测试题
-10.5 C0单元与C1单元
-第十章第六节测试题
-10.6 单元的拼片试验
-第十章第七节测试题
-10.7 有限元分析数值解的精度与性质
-第十章第八节测试题
-10.8 单元应力计算结果的误差与平均处理
-第十章第九节测试题
-10.9 控制误差和提高精度的h方法和p方法
-课后讨论
--讨论题
-第十一章第一节测试题
-11.1 1D高阶单元
-第十一章第二节测试题
-11.2 2D高阶单元
-第十一章第三节测试题
-11.3 3D高阶单元
-第十一章第四节测试题
-11.4 基于薄板理论的弯曲板单元
-第十一章第五节测试题
-11.5 子结构与超级单元
-课后讨论
--讨论题
-第十二章第一节测试题
-12.1 结构振动的有限元分析：基本原理
-第十二章第二节测试题
-12.2 结构振动的有限元分析实例
-第十二章第三节测试题
-12.3 弹塑性问题的有限元分析：基本原理
-第十二章第四节测试题
-12.4 弹塑性问题的有限元分析：非线性方程求解
-课后讨论
--讨论题
-第十三章第一节测试题
-13.1 传热问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第二节测试题
-13.2 传热问题的有限元分析实例
-第十三章第三节测试题
-13.3 热应力问题的有限元分析：基本原理
-第十三章第四节测试题
-13.4 热应力问题的有限元分析实例
-课后讨论
--讨论题
-【基本建模Project1】2D问题：带孔平板的有限元分析
--Doc I-1
-【基本建模Project2】3D问题：花型卡盘网格划分的控制
--Doc I-2
-【应用建模Project3】振动模态分析：斜拉桥的模态分析
--Doc I-3
-【应用建模Project4】弹塑性分析：厚壁圆筒受内压的弹塑性分析
--Doc I-4
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--Doc I-7
-【高级建模Project8】p方法的建模与应用：平面问题的p型单元建模与分析
--Doc I-8
