当前课程知识点：组合数学 > 小乒乓球的组合之旅 > 各种各样的排列 > 圆排列和项链排列
实际上说起来排列组合
最早的排列还是起源于我们中国
大家都知道八卦吧
实际上最早在易经中我们就曾经说到过四象
也就是取两个爻进行排列
那么八卦就是两个爻不同的排列
而在汉代的数学中就曾经说过
对于一个八卦来说
它们实际上围成了一个圆形
那请问不同的卦相分布在这八个位置
有多少种呢
大家实际上会发现
这个圆形的排列已经不再是我们刚才所说的
线性的线排列了
八卦的排列数有多少
就相当于八个人围坐在圆桌旁边进行排列
有多少种不同的方式 是一样的
那么我们就来研究一下
这样的圆形的排列怎么来计数呢
对于圆排列相当于我们拿n个元素中
取r个围成一个有r个元素构成的圆圈
我们并不知道圆排列是多少
但是我们知道线排列该怎么做
我们能不能把圆排列变成线排列呢
大家一想
对啊 我是不是可以把一个圆排列剪开
就构成了一个线排列呢
但是有多少种剪的位置呢
我们以四个元素来看
比如说四个元素我们有这样一个排列
1 2 3 4
这是一个圆排列
那么我们在不同的位置上如果剪开的话
就会产生不同的排列
也就是说同样一个圆排列
也许根据剪开位置的不同
可以产生不同的线排列
那么四个数字的线排列有多少个呢
就应该是四的阶乘
如果我要刨掉它重复的不同的剪的位置的话
只要除以一共有r个不同剪的位置
就可以算出来n个元素中取r个
进行圆排列应该是多少了
所以有了这样一个思想
我们把圆排列通过剪开变成线排列之后
就知道从n个元素中取r个这些圆排列
它的方案数就应该是P(n,r)/r
那么除了圆排列之外 其实还有一个排列
称为项链排列
我们都知道项链是什么呢
项链可以是一些圆珠构成的一个环
但是和圆排列的区别在于
圆排列是平面上的
而项链它是一个立方体
它拿出来以后它可以翻转
因此同样一个项链你翻过来之后
它给你不同的表象
比如说我们拿三个元素来看
一个三个元素我们摆在这样一个
项链的位置里面
它现在是1 3 2
如果我翻一下
它虽然好像圆排列的位置发生了变化
但实际上它们还是同一个项链的组合
因此项链排列是在圆排列基础上
把翻转再考虑在内
那么对应于n个元素中
取r个进行项链排列的话
它的方案数就相当于P(n,r)/r
再除以一个2
注意为了要构成一个项链
这里面我们r的个数不能小于三
下面呢
我们通过几个例题来给大家分析不同的排列
比如说有这样一个例子
我们有26个英文字母
那么请问如果元素不重复的话
取其中的四个组成一个字符串
它有多少种可能性呢？
大家都知道这就是我们的无重排列的定义
也就是P(26,4)
但实际上在现实中我们的字符是可以重复的
那如果问题改成
26个英文字母能够组成多少个
四位数的字符串呢
那这时候我们就想
我们可以通过分步的思想
一共有四个位置
每个位置都可以从26个英文字母中去取
因为是可以重复的
因此每一位实际上都有26种可能性
因此26个英文字母构成的4位的字符串
它的个数就应该是26的四次方
那么除了这样的一些约束之外
我们还可以把它进一步的去分析一下
比如说26个英文字母能组成多少个
四位数的字符串
它们每位数字都不相同
而且还要求b和d不相邻
一看到这种不相邻的约束
我们就会想那我是不是可以
先把b融合在一起
让它们相邻又能怎么样呢
只要刨掉这些相邻的约束
我就自然而然产生了合理的不相邻的结果
那么我们用减法的法则来做
首先我们先不管b和d的位置
所有的不重复的四位数字应该的个数
就是P(26,4)
那么如果b和d相邻
从26个英文字母中取出4个
能有多少个呢
首先b和d已经融合捆绑成了一个元素
剩下的还有两个字母
需要从多少个字母来取呢
应该从剩下的24个英文字母中取出来
应该取多少个呢
它自然只有C(24,2)这么多个取法
这些元素取出来之后
我们要给它进行排列
自然bd算一个元素
另外的两个元素分别占了两个位置
因此是三个位置进行全排列
到此为止还没有结束
因为bd db是两个
捆绑在一起的不同可能性
因此对应于如果bd相邻的4位数字
应该答案是C(24,2)乘以3的阶乘再乘以2
那么用所有全局的个数
P(26,4)减掉后面这个数值
就得到了答案
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