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计数的基本法则在线视频

计数的基本法则

下一节:排列还是组合

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计数的基本法则课程教案、知识点、字幕

大家好

非常高兴能跟大家再次相聚

一起去学习组合数学

这一周呢

我将带领大家去体会一些基本的计数法则

那么我们来看这一周

我们会用乒乓球给大家解释一些基本的法则

大家都知道乒乓球是国球

每年最重大的赛事就是世乒赛

今年世乒赛是在东京举办

当然在世乒赛之前会有一个直通比赛

那么今年的比赛正好是在镇江开幕的

如果我们想去观赛的话

从北京到镇江有多少种不同的行程呢

我们查了一下

如果坐火车的话高铁有七趟

其他的列车有两趟

那一共有多少种不同的行程呢

大家觉得太简单了

无非7+2一共有9趟不同的火车嘛

那么如果有人说

哎呀 我不能坐火车 我赶时间

如果用飞机呢

很可惜 没有直达的航班

我们必须先飞到南京

然后再由南京坐火车到镇江

如果早上出发有五趟航班

那么到了南京之后

我们有六趟火车可以到达镇江

这时候再问你从北京到镇江

这样的行程一共会有多少种呢

因为它分段来处理了

从中可以看到实际上就是用乘法

5×6一共有30种不同的行程

就这样一个简单的问题

我们发现其中蕴含的是不同类型的计数方法

比如说坐火车

坐火车的时候我们实际上

是按照分类来进行计数的

我们用的是加法

而如果坐的飞机

我们用的两步行程

这时候分步的策略里面我们要用乘法

这就意味着最最基本的计数法则

实际上是根据分类分步两种不同的策略

分别对应的是加法法则和乘法法则

如果我们用更加数学化的语言来描述

加法法则该怎样描述呢

实际上我们就说会有不同的事件

比如说事件A一共有M种产生方式

事件B有N种产生方式

那么在加法法则中也就是说两个事件

A或者B它们总共产生的方式

应该就是M+N种

用集合论的语言就是说

A集合它的大小为M

B集合大小为N

这时候A交B为空

那么A并B它的大小就应该等于M+N

这是一些数学化的形式语言

我们举一个简单的例子吧

比如说有一个班级

其中男生有25名

女生呢只有5名

请问一共有多少人呢

大家一想这非常简单

就是25+5=30嘛

但是女生比例相对较低

我们就会觉得这应该是一个非文科班级吧

那么下面我们来看一下

有关乘法如果用数学化的语言怎么描述呢

乘法法则中同样涉及不同的事件

事件A和事件B

但是它是分步来进行操作的

这时候我们用A×B来表示A和B分步发生

那么A×B能有多少种方式

就是M×N种方式

从集合论的语言来看

A集合个数等于M

B集合个数等于N

那么这时候我们用A×B

用二元组来表示

其中二元组(a,b)

第一个元素a来源于集合A

第二个元素b来源于集合B

这时候A×B的个数就应该直接是

A的个数M乘以B的个数N

这就是乘法法则

那么再拿那个非文科班级来看

如果说他们要进行班干部选举

其中想要选一个男生当班长

另外呢还想选一个女生当团支部书记

那么请问这样的组合能有多少种呢

这个问题实际上我们可以分步来考虑

第一步我就先选班长有25种选择

第二步我再选团支部书记有5种选择

根据乘法法则很简单

就是25×5=125种

我们已经知道了加法法则和乘法法则

在具体应用的时候我们一定要注意

它有一个隐含的条件

也就是各个事件之间必须相互独立

比如说我们看一个例子

还是刚才那个非文科班级

但是呢里面有一点玄妙的地方

它里面有一位男同学叫做GFS

另外一个女同学呢她叫BFM

他们两个人呢实际上

并不是大家猜测的是男女朋友关系

他们是双胞胎兄妹

这个时候如果要选一位男同学当班长

一位女同学当团支部书记

自然大家会觉得最好不要太权利集中了吧

这个时候合理的选择方法有多少种呢

如果大家就想我可以分类来做呀

比如说我问这位男生GFS是否选为了班长呢

如果我要选他当班长的话

那么意味着男生已经确定下来

那女生只有四种选择

那么另外一种方式

如果GFS没有被选为当班长的话

男生有多少种选择呢

男生是24个选择

对应女生可以5个都可以入选

所以呢这样不选GFS的时候

我们实际上应该有24×5不同的选择

而这样两个不同的分类累加起来

正好是4+24×5=124

就这么一个简单的问题我们会觉得

这样分类来做是不是有点太复杂了呢

我们有没有更直接的方法

我们回头再想

其实合理的方案去分析非常的复杂

但是不合理的方案呢

不合理的方案实际上只有一种啊

那么如果我们想要把不合理的方案

从合理方案刨掉的话是不是就很简单

我们可以看到不合理方案只有一种

而所有的全局解应该是125种

125-1=124

和刚才的方法得到了同样的答案

这时候我们就引出了另外一个计数的法则

也就是减法法则

我们会发现通常在计数的过程中

我们会有一些不容易计算的

大家来看

这是一个相对来说不太规则的多边形

那么如果我们要直接计算它的面积的话

就觉得有点困难

有没有更好的办法呢

我们就会想其实在它的角落里

加上一个小的长方形

它就变成了一个相对规则的大的长方形

要计算原来的多边形的面积

只需要用大的长方形面积减去

小长方形面积就可以直接算出来

这就是最最基本的减法法则的思路

那么我们在计数中经常会碰到

对于集合A来说我们直接对它进行计数

也许非常困难

那么集合A可以被包含在一个相对规则的

一个全集中我们用U来表示

这时候我们来定义一个A的补集

也就是说在A的补集中它的元素

是属于全集的

但是不属于原来的集合A

我们一般呢用A加一杠来表示A的补集

那么计算A的个数

我们就可以利用补集来计算

补集的个数相对好计算

那么原来A的个数就相当于用

全局U的个数减掉补集A的个数就可以了

这就是减法法则

那么既然加减乘都有了

四则运算我们就少了一个

也就是除法法则

其实除法法则非常显而易见

比如就拿那个非文科班级来说吧

我们现在一共有25个男生5个女生

如果要分组

每个女生到一个组中

我请问那么每一组中平均分配的话

男生有多少个呢

这就非常容易

就是25÷5=5就好了

其实在计数中最最基本的法则

还无外就是这四则运算加减乘除

在这里我们已经介绍了最基本的计数法则

下面呢我们给大家介绍排列和组合

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