当前课程知识点:组合数学 > 小乒乓球的组合之旅 > 加减乘除来计数 > 计数的基本法则
大家好
非常高兴能跟大家再次相聚
一起去学习组合数学
这一周呢
我将带领大家去体会一些基本的计数法则
那么我们来看这一周
我们会用乒乓球给大家解释一些基本的法则
大家都知道乒乓球是国球
每年最重大的赛事就是世乒赛
今年世乒赛是在东京举办
当然在世乒赛之前会有一个直通比赛
那么今年的比赛正好是在镇江开幕的
如果我们想去观赛的话
从北京到镇江有多少种不同的行程呢
我们查了一下
如果坐火车的话高铁有七趟
其他的列车有两趟
那一共有多少种不同的行程呢
大家觉得太简单了
无非7+2一共有9趟不同的火车嘛
那么如果有人说
哎呀 我不能坐火车 我赶时间
如果用飞机呢
很可惜 没有直达的航班
我们必须先飞到南京
然后再由南京坐火车到镇江
如果早上出发有五趟航班
那么到了南京之后
我们有六趟火车可以到达镇江
这时候再问你从北京到镇江
这样的行程一共会有多少种呢
因为它分段来处理了
从中可以看到实际上就是用乘法
5×6一共有30种不同的行程
就这样一个简单的问题
我们发现其中蕴含的是不同类型的计数方法
比如说坐火车
坐火车的时候我们实际上
是按照分类来进行计数的
我们用的是加法
而如果坐的飞机
我们用的两步行程
这时候分步的策略里面我们要用乘法
这就意味着最最基本的计数法则
实际上是根据分类分步两种不同的策略
分别对应的是加法法则和乘法法则
如果我们用更加数学化的语言来描述
加法法则该怎样描述呢
实际上我们就说会有不同的事件
比如说事件A一共有M种产生方式
事件B有N种产生方式
那么在加法法则中也就是说两个事件
A或者B它们总共产生的方式
应该就是M+N种
用集合论的语言就是说
A集合它的大小为M
B集合大小为N
这时候A交B为空
那么A并B它的大小就应该等于M+N
这是一些数学化的形式语言
我们举一个简单的例子吧
比如说有一个班级
其中男生有25名
女生呢只有5名
请问一共有多少人呢
大家一想这非常简单
就是25+5=30嘛
但是女生比例相对较低
我们就会觉得这应该是一个非文科班级吧
那么下面我们来看一下
有关乘法如果用数学化的语言怎么描述呢
乘法法则中同样涉及不同的事件
事件A和事件B
但是它是分步来进行操作的
这时候我们用A×B来表示A和B分步发生
那么A×B能有多少种方式
就是M×N种方式
从集合论的语言来看
A集合个数等于M
B集合个数等于N
那么这时候我们用A×B
用二元组来表示
其中二元组(a,b)
第一个元素a来源于集合A
第二个元素b来源于集合B
这时候A×B的个数就应该直接是
A的个数M乘以B的个数N
这就是乘法法则
那么再拿那个非文科班级来看
如果说他们要进行班干部选举
其中想要选一个男生当班长
另外呢还想选一个女生当团支部书记
那么请问这样的组合能有多少种呢
这个问题实际上我们可以分步来考虑
第一步我就先选班长有25种选择
第二步我再选团支部书记有5种选择
根据乘法法则很简单
就是25×5=125种
我们已经知道了加法法则和乘法法则
在具体应用的时候我们一定要注意
它有一个隐含的条件
也就是各个事件之间必须相互独立
比如说我们看一个例子
还是刚才那个非文科班级
但是呢里面有一点玄妙的地方
它里面有一位男同学叫做GFS
另外一个女同学呢她叫BFM
他们两个人呢实际上
并不是大家猜测的是男女朋友关系
他们是双胞胎兄妹
这个时候如果要选一位男同学当班长
一位女同学当团支部书记
自然大家会觉得最好不要太权利集中了吧
这个时候合理的选择方法有多少种呢
如果大家就想我可以分类来做呀
比如说我问这位男生GFS是否选为了班长呢
如果我要选他当班长的话
那么意味着男生已经确定下来
那女生只有四种选择
那么另外一种方式
如果GFS没有被选为当班长的话
男生有多少种选择呢
男生是24个选择
对应女生可以5个都可以入选
所以呢这样不选GFS的时候
我们实际上应该有24×5不同的选择
而这样两个不同的分类累加起来
正好是4+24×5=124
就这么一个简单的问题我们会觉得
这样分类来做是不是有点太复杂了呢
我们有没有更直接的方法
我们回头再想
其实合理的方案去分析非常的复杂
但是不合理的方案呢
不合理的方案实际上只有一种啊
那么如果我们想要把不合理的方案
从合理方案刨掉的话是不是就很简单
我们可以看到不合理方案只有一种
而所有的全局解应该是125种
125-1=124
和刚才的方法得到了同样的答案
这时候我们就引出了另外一个计数的法则
也就是减法法则
我们会发现通常在计数的过程中
我们会有一些不容易计算的
大家来看
这是一个相对来说不太规则的多边形
那么如果我们要直接计算它的面积的话
就觉得有点困难
有没有更好的办法呢
我们就会想其实在它的角落里
加上一个小的长方形
它就变成了一个相对规则的大的长方形
要计算原来的多边形的面积
只需要用大的长方形面积减去
小长方形面积就可以直接算出来
这就是最最基本的减法法则的思路
那么我们在计数中经常会碰到
对于集合A来说我们直接对它进行计数
也许非常困难
那么集合A可以被包含在一个相对规则的
一个全集中我们用U来表示
这时候我们来定义一个A的补集
也就是说在A的补集中它的元素
是属于全集的
但是不属于原来的集合A
我们一般呢用A加一杠来表示A的补集
那么计算A的个数
我们就可以利用补集来计算
补集的个数相对好计算
那么原来A的个数就相当于用
全局U的个数减掉补集A的个数就可以了
这就是减法法则
那么既然加减乘都有了
四则运算我们就少了一个
也就是除法法则
其实除法法则非常显而易见
比如就拿那个非文科班级来说吧
我们现在一共有25个男生5个女生
如果要分组
每个女生到一个组中
我请问那么每一组中平均分配的话
男生有多少个呢
这就非常容易
就是25÷5=5就好了
其实在计数中最最基本的法则
还无外就是这四则运算加减乘除
在这里我们已经介绍了最基本的计数法则
下面呢我们给大家介绍排列和组合
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