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可以转的世界

下一节:伽罗华与群

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可以转的世界课程教案、知识点、字幕

大家还记得黑板上的排列组合吧

确实我们看黑板上那么多道题中

有这样一道题

他问我一共有六种颜色

要涂一个正六面体

而且每面用一种颜色

每面的颜色还都不相同

请问有多少种涂法

我想大家都做了这道思考题吧

答案是什么呢

其实我们用基本的排列组合

就可以计算出来

假如说我先把这个正六面体固定住

那么它最上面的这个面

它一共有六种不同的颜色选择

当然对应的它的的底面

因为已经用掉了一种颜色

对应的底面它有五种选择

而剩下的四个面围起来

构成了一个环

所以呢利用圆排列的方法

我们知道它就相当于

四个元素进行圆排列

也就是4的阶乘除以4

这样就结束了吗

但是我们会发现

实际上这个正六面体是可以转的

所以每一个面都可以当做是

上面的顶面

这时候我们还要除以个6

这个问题告诉了我们

其实如果是可以转的世界里面

我们要进行计数的话

会和平常做法有些不同

虽然这道题目我们可以用传统的

排列组合求解出来了

如果把这道题改一点点呢

比如说我还是用六种不同的颜色

给它涂正六面体

但是这时候我虽然要求每个面

都一种颜色

但是每个面的颜色可以相同

可以相同大家就想到

可能就有可重元素在了

那这个时候有多少种不同的涂法呢

我们会发现

仅用刚才的排列组合方法是

没有办法完整地去枚举的

甚至我们做的更复杂的情况下

会发现我们已有的知识

已经不能解决相关的问题了

这个时候我们回顾一下以往的计数

当我们遇到困难的时候

会发生什么事情呢

比如说在开始我们组合计数

比如说想要求解递推的时候的

通项的时候

我们发现很困难

这时候我们利用了一个新的概念

也就是引入了函数的形式

介绍了母函数的计数方法

这个时候我们发现

我们每一类的问题

变成了抽象成了多项式的乘法

而同时我们虽然有

最基本的计数法则

我们要求达到无重复 无遗漏

往往现实世界非常复杂

它们有相互之间的错综的关系

我们又提出了容斥原理

容斥原理告诉我们如果区分同类

如何有容有斥

但是现在是在一个

可以转动的世界里面

我们该如何去做呢

我们可以先不在于立方的世界里面

我们来看平面里面

如果它可以转动的话

会有什么问题

比如说我们常见的正方形

他的四个顶点进行着色

比如说我们红蓝二着色的话

请问有多少种不同的着色方法

大家一看 诶

如果仅仅是一个固定住的

正方形的话

那没问题呀

四个点

每个点两种颜色

所以是2的4次方

但是这个正方形它是可以转的呀

那么请同学们考虑一下

完成下面这道quiz吧

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