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Burnside引理的困境(2)在线视频

Burnside引理的困境(2)

下一节:Polya定理

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Burnside引理的困境(2)课程教案、知识点、字幕

首先我要研究对应的一个正立方体

我就要知道它有多少个顶点

有多少个面

有多少条棱

对于正立方体六个面我们很好分析

对于六个面来说

这个的正六面体它必然是有六个面

那么它有多少条棱呢

我们会发现它上面的平面和

下面的平面分别对应有四条棱

中间围成的高的有四条棱

因此它有12条

它有多少个顶点呢

它正好上面有4个下面有4个

8个顶点

在这样对它结构分析基础上

我们就可以去找到它所有的转动群

我们会发现首先不动置换是最简单的

一个那么不动置换对应的所有的

图象全部都应该保持不变

它有多少个不同的着色图象呢

刚才我们分析到了

每个面对应出来就是排列方案数

因此它一共有多少有

6的阶乘个图象

那对应于不动点里面

单位元对于我们来说

相当于6个阶乘所有的

这样全部是一阶循环

那它有多少个不动图象

自然是6的阶乘个不动图象

那另外其他方面呢

我们可以让它进行旋转

比如说上面的面心和下面的面心

连了一条轴

这时候让它进行旋转

正负90度的话

自然而然就会产生不同的置换

那么一共有多少个这样的置换呢

首先我们想有多少个

面心对面心这样的轴呢

我们刚才说了

一共有6个面

那么一共有多少个对立面呢

正好每两个面构成一个对面情况

因此它一共有三个

不同面对面的情况

面心对面心的轴一共有三个

而且我们说到了

有正90度和负90度

因此这样的置换一共有6种

在这样的置换下

请问会不会产生一些不动点呢

我们首先说到

在这到题目中要求

所有的面颜色都不一样

那意味着什么

转90度

原来红色的面可能就变成蓝色了

原来是蓝色的可能变成红色的

不管怎么样

因为它要求每个面的颜色都不一样

只要你转了就会发生变化

因此它是没有不动点的

那意味着实际上我们就不需要

把所有的着色图象都拿出来

只要分析它有没有不动点就够了

与此类似

除了正负90度之外

我们还可以转180度

转180度可是对应的面心对面心里

因此一共有三个不同的轴

同样分析

如果我们要求每个面颜色都不一样

那么它最后

转180度就会发生颜色的变化

因此也还不存在不动点

接着还没有其他置换呢

我们会想它是一个正的立方体

我们是不是在这样的棱

和它对面的棱

连接他们的中心点

构成了棱中对棱中的一条对角线

这时候我们只要沿着

这样对称轴进行翻转的话

它照样能够重合到原来的位置上

照样是一个置换

这样它一共有多少个

棱中对棱中呢

刚才我们分析到了

它有多少条棱呢

它上面4个下面4个

中间4个因此12条棱

是2条棱两两对应

两个棱中

这时候12除以2

应该有6个

对应的不同棱中

那同样也分析

翻转之后

上面和下面相互交换

本来上面是红色

一翻上面是蓝色

因此仍然不可能产生不动的图象

接着还有

比如说我们直接拿顶角

对着它的顶角做一条内部的对角线

这时候我们应该怎样让它翻转呢

我们不再转180度了

我们是沿着它的

顶角方案旋转120度

可以是正120度和负120度

它同样能够重合

应该有多少个这样的置换呢

首先我们想到有多少个

这样对应的内部对角线呢

我们一共有多少个顶点

一共有8个顶点

8个顶点中两两是一对对应的顶角

就会有4条不一样的对角线

有多少个角度呢

正120负120

有两个角度

因此我们对应的在这种旋转下

顶点对顶点应该有

2乘以4个不同的置换

走到这里

我们其实发现我们并没有把

六阶乘所有对应的图象

集全部列出来

我们分析了什么

我们分析了一共有

多少个不同的置换

我们同时还分析了

有没有不动点产生

很幸运的是因为在这里面我们的要求

每个面的颜色都不一样

只要发生转动

它就会产生图象的变化

因此不会有不动点产生

除了单位元

而单位元的个数我们很容易算

正好是6的阶乘个对应的一阶循环

那这时候再代入到伯恩塞德引理

我们发现所有的数字我们都有了

这时候对应的一阶循环的个数

就是6的阶层

而对应的置换

我们把刚才所有的数字加起来

正好是24的置换

因为它有多少个呢

就是6的阶乘除以24

答案就是30

刚才我们实际上用了

伯恩塞德引理解决了

黑板上的排列组合

但是大家还记得吗

我们曾经问到

但是稍微改一下这道题目呢

本来是要求每个面颜色都不一样

这样的话就很容易找到

对应旋转是不存在不动点的

但是如果我们要求各个面的

颜色是可以同色的

这时候问题的规模更大了

因为对于6个不同的格子

每个格子都有不同的可能

因此所有的图象集的个数

是6的6次方了

而且在旋转中存在不动点呢

我们会发现

比如说上底和下底颜色是一样的

周围高对应的四面颜色也都一样

这种情况对应于面心对面心旋转

90度和180度

或者是270度

都会发现这个图

没有发生任何的变化

那意味着在旋转的时候

会有各种情况的不动点的情况

如果分析对应的图象集以及对应的

不动点情况实在是太复杂了

我们回头再看

这似乎就遇到了

伯恩塞德对应的不能解决的问题

它针对的是什么

由于本身的缺陷

需要列出所有的着色图象集

着色图象集的规模是相当大的

而且如果你只是两种颜色的话

结果还相当少一些

如果是6种 8种 10种呢

这么多颜色对应所有的

方案结构就非常复杂了

理论上是可以用

伯恩塞德来求解的

但是

我们怎么去找对应的一阶循环

是非常非常困难的

因此就引导我们是不是

可以转化思路

不从着色图象集出发

我们是不是能够另辟蹊径呢

下面我们就给大家讲波利亚定理

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