当前课程知识点:组合数学 > Polya定理 > 立方体旋转 > 立方体旋转(3)
刚才我们分析了一些
正多面体之后
大家会有一个困惑
也就是说怎么去想象
在三维空间这些凸多边形
是不是有一些规律可循
能够帮助我记忆
它的图象应该长什么样子
其实在很早以前
欧拉就已经充分的
研究了凸多面体
而且我们知道对应于
欧拉定理可以帮助
我们来记忆
棱 面 和点的关系
欧拉定理是这样描述的
任何的凸多边形 凸多面体
它对应的顶点个数加上面的个数
减去棱的个数刚好等于2
所以我们又分析出来
有多少个棱 多少个面之后
对于顶点个数是可以
直接计算出来的
同样对于凸正多面体来说
它必须保证每个面
都是一个正多边形
而对于平面多边形来说
有这样一个结论
它的内角和刚好等于顶点个数
减去乘以180度
我们就可以求出来对于每一个面
正多边形顶点对应的内角是多少
有了这些思想之后
我们设计出来一个
非常有用的概念
是这样的概念
对于凸多面体来说
我们关注一个顶点
这个顶点会和
多少个面角相互联系
我们可以把这些面角
全部累加在一起
而这些面角累加在一起
和360度的差
我们给它起个名字叫做欠角
对于这样概念大家可能并不熟悉
确实这个概念实际上是原来
清华大学的黄连生老师提出的
为什么要提出这个概念呢
因为有了这个概念之后我们可以
很好的分析每一个
凸多边形对应的特性
首先它有一个定理
你们可以通过欧拉定理给它证明
它的具体描述是说
对于凸多面体来说
各顶点的欠角和刚好是720度
具体的证明大家可以回去练习
我们先拿正四面体来验证
我们先说
首先我们有一个新的概念 欠角
它就是说每一个顶点对应的内角
之和和360度的差是多少
一看正四面体里面
每一个面都是正三角形
正三角形内角是多少呢
刚好是60度
每一个顶点有多少个内角呢
它有3个内角
他们的和刚好是180
这时候每一个顶点的
欠角就是360度减去
180度等于180度
刚好是180度
那么对应于它所有的
欠角之和等于多少
它一共有4个顶点
每个顶点的欠角是180度
180乘以4刚好等于720度
这和我们刚才说的
欠角定理是一样的结论
我们接着就问一个问题了
这时候可以拿正的
多边形去搭一个正的多面体
如果用正的五边形去搭正多边体
它会长什么样子呢
我们就可以用欠角和
给大家来分析
首先我们去分析
正五边形每个内角是多少
我们知道正多边形的
内角和等于v减去2乘以180
对于正五边形就是
5减去2乘以180
是所有内角之和
五个角都一样
因此每一个内角就是
5减去2乘以180
除以5刚好是108度
意味着每一个顶点
它的面角就是108度
我们来凑一下欠角
这时候我们用360度减去
某一个数字乘以108
为了凑一个比较小的数字
我们会360减去3乘以108
得到欠角是36度
那么它意味着什么呢
它意味着每一个顶点
应该有三个内角
每一个内角是108度
既然欠角已经知道
而且知道所有
顶点的欠角和是720度
那我问你
一共多少个顶点呢
我就直接拿720除以
36就得到了顶点个数
一共有20个顶点
而我又知道每个顶点
要和三个内角相联系
一个顶点有三条棱和它相联系
而且重复度又为2
因此有多少条棱呢
实际上就用20乘以3再除以2
一共30条棱
而一个顶点又和
多少个面相关呢
它有三个面角和它相关
而重复度刚好是5
因此我们算出来应该
是20乘以3除以5
是12个面
到此为止我问你
用正五面形搭出来的
一个正凸多面体应该长什么样呢
它就应该是正十二面体
其实反过来
我们如果知道正十二面体
这个正十二面体的
每个面正好是正五边形的话
我们完全可以用欠角和来帮助
大家解析出正十二面体长什么样子
同样我们可以看到
通过欠角的概念
我们知道每一个内角是108
所以它每一个欠角就应该是36
对应的每一个顶点
应该有3个内角和它相联系
这时候再通过720
除以欠角等于20个顶点
依次我们可以推出正十二面体
一共有12个面
20个顶点
30条棱
如果再换一个
我们来分析一下
用正三角形搭成的面最多的
正凸多面体应该是多少个呢
首先内角是60
用360尽可能减去60
应该减掉5个60
因此一个顶点应该
对应5个内角
而它的欠角是60
用720除以60
就是说它有12个顶点
12个顶点
每一个顶点会关联到5条棱
而重复度又是2
因此是12乘以5再乘以2
刚好是30条棱
它每一个顶点要和五个面相联系
重复度刚好是三角形
所以它方案是12乘以6除以3
一共是20个面
我们并不需要画出具体的图案
我们就已经知道了
对于这20面体来说它有20个面
30条棱
12个顶点
每一个顶点旁边有5个三角形
-什么是组合数学
--什么是组合数学
--讨论题
-最精巧的排列——幻方
--幻方
-漫谈组合数学--最精巧的排列——幻方
-苦难的羊皮纸卷
--羊皮纸卷
-苦难的羊皮纸卷--作业
-你的手机密码安全吗
-漫谈组合数学--你的手机密码安全吗
-暴力枚举和抽象转换
--世界杯引出的问题
--世界杯引出的问题--练习
--一一对应
--七桥问题
--小结
--讨论题
-大家谈组合数学(1)
--采访武永卫老师
-第一周作业
--作业说明
--H
--U
--G
--作业讨论区说明
-第一周演示程序
--程序讨论区说明
--幻方生成器
--换方计数
--屏幕解锁方案数
--欧拉路计数
--共享程序
-加减乘除来计数
--计数的基本法则
-排列还是组合
--排列还是组合
--小乒乓球的组合之旅--排列还是组合
-各种各样的排列
--圆排列和项链排列
--圆排列和项链排列--习题
--多重排列
--多重排列--练习
-多样的组合
--可重组合
--不相邻组合
--小乒乓球的组合之旅--多样的组合
-钟声里的全排列
--钟声里的全排列
--钟声里的全排列
--字典序法
--SJT算法
-第二周作业
--H
--U
--G
--思考题
--公式测试
--作业讨论区说明
-第二周演示程序
--程序讨论区说明
--全排列生成
--组合生成器
--共享程序
-参考资料:Stirling估计式
-母函数是函数的母亲吗
--母函数的定义(1)--练习
--母函数的定义(2)--练习
-母函数的简单应用
--初识母函数--母函数的简单应用
-整数拆分
--整数拆分(1)
--整数拆分(2)
-Ferrers图像
--Ferrers图像--作业
-母函数与递推关系
--母函数能做什么
--偶数个5怎样算
--母函数小结
-大家谈组合数学(2)
-第三周作业
--H
--U
--G
--思考题
--作业讨论区说明
-第三周演示程序
--程序讨论区说明
--整数拆分
--汉诺塔
--共享程序说明
-Fibonacci数列
--线性常系数递推关系--Fibonacci数列
-Fibonacci数列的应用
--桌布魔术
--桌布魔术--练习
--艾略特波浪曲线
-线性常系数齐次递推关系
--定义
--特征多项式
--线性常系数递推关系--线性常系数齐次递推关系
-说“数”解题
-第四周作业
--H
--U
--G
--GT思考题
--作业讨论区说明
-第四周演示程序
--程序讨论区说明
--程序共享说明
-爆笑花絮
--爆笑花絮
-参考资料:K线分析中的Fibonacci 相关理论
-Catalan数
--计算机界的精灵
--神奇的序列--Catalan数
-指数型母函数
--指数型母函数
--神奇的序列--指数型母函数
-错排
--错排1
--错排2
--神奇的序列--错排
-Stirling数
--神奇的序列--Stirling数
-母函数小结
--母函数小结
-大家谈组合数学(3)
-第五周作业
--H
--U
--G
--思考题
--作业讨论区说明
-第五周演示程序
--讨论区说明
--Catalan数
--程序共享
-且容且斥
--容斥原理
--容斥原理的证明
--容斥原理和鸽巢原理--且容且斥
-容斥原理的精妙
-回忆过去,容斥新解
--容斥原理和鸽巢原理--回忆过去,容斥新解
-鸽子抢巢
--鸽巢原理
--鸽巢原理--练习
--鸽巢原理的应用(1)--练习
-看得见摸得着的鸽巢
--韩信点兵
--中国剩余定理
--容斥原理和鸽巢原理--看得见摸得着的鸽巢
-6人行和Ramsey数
--6人行
--Ramsey数
--小结
-第六周作业
--H
--U
--G
--GT
--作业讨论区说明
-第六周演示程序
--讨论区说明
--程序共享说明
-可以转的世界
--可以转的世界
--可以转的世界--练习
--伽罗华与群
--群的定义
--群的定义--练习
--群的一些概念
-置换群
--置换群
--群--置换群
--共轭类
--对换
--对换--练习
--置换群的应用
-Burnside引理
--着色问题的等价类
--Burnside引理--作业
-闲话群
-第七周作业
--H
--U
--G
--作业讨论区说明
-Burnside引理的困境
-从Burnside到Polya
--Polya定理
-立方体旋转
--立方体旋转(1)
--立方体旋转(2)
--立方体旋转--作业
--立方体旋转(3)
--立方体旋转--作业
--立方体旋转(4)
-母函数型Polya定理
--Polya定理--母函数型Polya定理
-图的计数
--图的计数
-总结
--本章小结
-第八周作业
--H
--U
--G
--GT
--作业讨论区说明
-大家谈组合数学(4)
--采访黄连生老师
-组合之美
--组合之美之计数
-组合之美之线性常系数递推关系
-组合之美之多样的序列
-组合之美之鸽巢原理
-组合之美之转动群与染色
-采访邹欣
--采访邹欣1
--采访邹欣2
-知识点串串烧
--知识点串串烧
-期末测验--期末测验