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立方体旋转(3)在线视频

立方体旋转(3)

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立方体旋转(3)课程教案、知识点、字幕

刚才我们分析了一些

正多面体之后

大家会有一个困惑

也就是说怎么去想象

在三维空间这些凸多边形

是不是有一些规律可循

能够帮助我记忆

它的图象应该长什么样子

其实在很早以前

欧拉就已经充分的

研究了凸多面体

而且我们知道对应于

欧拉定理可以帮助

我们来记忆

棱 面 和点的关系

欧拉定理是这样描述的

任何的凸多边形 凸多面体

它对应的顶点个数加上面的个数

减去棱的个数刚好等于2

所以我们又分析出来

有多少个棱 多少个面之后

对于顶点个数是可以

直接计算出来的

同样对于凸正多面体来说

它必须保证每个面

都是一个正多边形

而对于平面多边形来说

有这样一个结论

它的内角和刚好等于顶点个数

减去乘以180度

我们就可以求出来对于每一个面

正多边形顶点对应的内角是多少

有了这些思想之后

我们设计出来一个

非常有用的概念

是这样的概念

对于凸多面体来说

我们关注一个顶点

这个顶点会和

多少个面角相互联系

我们可以把这些面角

全部累加在一起

而这些面角累加在一起

和360度的差

我们给它起个名字叫做欠角

对于这样概念大家可能并不熟悉

确实这个概念实际上是原来

清华大学的黄连生老师提出的

为什么要提出这个概念呢

因为有了这个概念之后我们可以

很好的分析每一个

凸多边形对应的特性

首先它有一个定理

你们可以通过欧拉定理给它证明

它的具体描述是说

对于凸多面体来说

各顶点的欠角和刚好是720度

具体的证明大家可以回去练习

我们先拿正四面体来验证

我们先说

首先我们有一个新的概念 欠角

它就是说每一个顶点对应的内角

之和和360度的差是多少

一看正四面体里面

每一个面都是正三角形

正三角形内角是多少呢

刚好是60度

每一个顶点有多少个内角呢

它有3个内角

他们的和刚好是180

这时候每一个顶点的

欠角就是360度减去

180度等于180度

刚好是180度

那么对应于它所有的

欠角之和等于多少

它一共有4个顶点

每个顶点的欠角是180度

180乘以4刚好等于720度

这和我们刚才说的

欠角定理是一样的结论

我们接着就问一个问题了

这时候可以拿正的

多边形去搭一个正的多面体

如果用正的五边形去搭正多边体

它会长什么样子呢

我们就可以用欠角和

给大家来分析

首先我们去分析

正五边形每个内角是多少

我们知道正多边形的

内角和等于v减去2乘以180

对于正五边形就是

5减去2乘以180

是所有内角之和

五个角都一样

因此每一个内角就是

5减去2乘以180

除以5刚好是108度

意味着每一个顶点

它的面角就是108度

我们来凑一下欠角

这时候我们用360度减去

某一个数字乘以108

为了凑一个比较小的数字

我们会360减去3乘以108

得到欠角是36度

那么它意味着什么呢

它意味着每一个顶点

应该有三个内角

每一个内角是108度

既然欠角已经知道

而且知道所有

顶点的欠角和是720度

那我问你

一共多少个顶点呢

我就直接拿720除以

36就得到了顶点个数

一共有20个顶点

而我又知道每个顶点

要和三个内角相联系

一个顶点有三条棱和它相联系

而且重复度又为2

因此有多少条棱呢

实际上就用20乘以3再除以2

一共30条棱

而一个顶点又和

多少个面相关呢

它有三个面角和它相关

而重复度刚好是5

因此我们算出来应该

是20乘以3除以5

是12个面

到此为止我问你

用正五面形搭出来的

一个正凸多面体应该长什么样呢

它就应该是正十二面体

其实反过来

我们如果知道正十二面体

这个正十二面体的

每个面正好是正五边形的话

我们完全可以用欠角和来帮助

大家解析出正十二面体长什么样子

同样我们可以看到

通过欠角的概念

我们知道每一个内角是108

所以它每一个欠角就应该是36

对应的每一个顶点

应该有3个内角和它相联系

这时候再通过720

除以欠角等于20个顶点

依次我们可以推出正十二面体

一共有12个面

20个顶点

30条棱

如果再换一个

我们来分析一下

用正三角形搭成的面最多的

正凸多面体应该是多少个呢

首先内角是60

用360尽可能减去60

应该减掉5个60

因此一个顶点应该

对应5个内角

而它的欠角是60

用720除以60

就是说它有12个顶点

12个顶点

每一个顶点会关联到5条棱

而重复度又是2

因此是12乘以5再乘以2

刚好是30条棱

它每一个顶点要和五个面相联系

重复度刚好是三角形

所以它方案是12乘以6除以3

一共是20个面

我们并不需要画出具体的图案

我们就已经知道了

对于这20面体来说它有20个面

30条棱

12个顶点

每一个顶点旁边有5个三角形

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