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Burnside引理的应用在线视频

Burnside引理的应用

下一节:无处不在的群(1)

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Burnside引理的应用课程教案、知识点、字幕

通过刚才的证明

我们得到了一个式子

也就是对应于等价类的个数

实际上就可以去求

所有置换中1阶循环的个数

再除以所有置换的个数

其实这个式子

实际上就是Burnside引理

Burnside引理在做什么

它就是来求染色对应的等价方案

但是实际上这个定理也不是

Burnside发明的

实际上是柯西在研究一些

着色方案的时候就已经提出了

相应的定理

他的基础实际上就是我们说到了

刚才的轨道定理

所以这个定理有时候也被称为是

orbit counting theory

而这个定理真正它的具体描述

是什么呢

它的意思是说对应于一个有限群

比如说a1 a2一直到ag

它是一个g阶的置换群

那么我们每一个置换都可以写成

不相交的循环的乘积

这时候我们在对应的置换的作用下

它的不动点个数也就是对应的

1阶循环个数

我们就用c1ak来表示

这时候g将1 2

一直到n这么多个元素

划分成了l个等价类

那么l个等价类

l等于多少呢

它就应该等于

∑所有的1阶循环的个数

除以对应的这个g的阶数

也就是小g

那我们来回头再看

这节课一开始我们提出的

那一道问题

如果用红蓝两种颜色

对这个四边形的四个顶点进行着色

允许它旋转的话

有多少种不同的方案呢

我们直接就可以代到Burnside引理

来做一下

这时候我们首先把置换写出来

一共是4个置换

如果我们假设只考虑旋转的情况下

那么每一个置换

我们都可以看到

它一共有多少个1阶循环呢

在这里我们看到旋转0度的时候

一共有16个1阶循环

来应于转90度的时候

两个1阶循环

对应于转180度的时候

4个1阶循环

270度的时候

两个1阶循环

那么代到Burnside引理里面

对应的所有的1阶循环个数

加在一起

无非就是16加2加4加2

那么对应的一共有多少个置换呢

除以4

答案正好是6

和我们枚举出来的结果完全一致

那这个时候我们看到了

Burnside引理它在说什么

它说对应于一些图像

我们这么多张照片拿过来

我们首先要考虑对应于旋转的时候

它会有什么样的运作模式

也就是我们要考虑

针对图像集的转动群

那么对应于这些图像

我们必须要把它罗列出来

才能想清楚它有多少个转动影响

如果我们想用10种颜色

甚至20种颜色给这个顶点

进行着色呢

如果它不再是一个简单的四边形

它甚至是我们刚才黑板上的

排列组合中说到的那个立方体呢

这个时候我们发现

Burnside引理还不能很好地

解决空间上进行着色的问题

那么下节课呢

我们会给大家进行详细地解释

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