当前课程知识点:组合数学 > 群 > Burnside引理 > Burnside引理的应用
通过刚才的证明
我们得到了一个式子
也就是对应于等价类的个数
实际上就可以去求
所有置换中1阶循环的个数
再除以所有置换的个数
其实这个式子
实际上就是Burnside引理
Burnside引理在做什么
它就是来求染色对应的等价方案
但是实际上这个定理也不是
Burnside发明的
实际上是柯西在研究一些
着色方案的时候就已经提出了
相应的定理
他的基础实际上就是我们说到了
刚才的轨道定理
所以这个定理有时候也被称为是
orbit counting theory
而这个定理真正它的具体描述
是什么呢
它的意思是说对应于一个有限群
比如说a1 a2一直到ag
它是一个g阶的置换群
那么我们每一个置换都可以写成
不相交的循环的乘积
这时候我们在对应的置换的作用下
它的不动点个数也就是对应的
1阶循环个数
我们就用c1ak来表示
这时候g将1 2
一直到n这么多个元素
划分成了l个等价类
那么l个等价类
l等于多少呢
它就应该等于
∑所有的1阶循环的个数
除以对应的这个g的阶数
也就是小g
那我们来回头再看
这节课一开始我们提出的
那一道问题
如果用红蓝两种颜色
对这个四边形的四个顶点进行着色
允许它旋转的话
有多少种不同的方案呢
我们直接就可以代到Burnside引理
来做一下
这时候我们首先把置换写出来
一共是4个置换
如果我们假设只考虑旋转的情况下
那么每一个置换
我们都可以看到
它一共有多少个1阶循环呢
在这里我们看到旋转0度的时候
一共有16个1阶循环
来应于转90度的时候
两个1阶循环
对应于转180度的时候
4个1阶循环
270度的时候
两个1阶循环
那么代到Burnside引理里面
对应的所有的1阶循环个数
加在一起
无非就是16加2加4加2
那么对应的一共有多少个置换呢
除以4
答案正好是6
和我们枚举出来的结果完全一致
那这个时候我们看到了
Burnside引理它在说什么
它说对应于一些图像
我们这么多张照片拿过来
我们首先要考虑对应于旋转的时候
它会有什么样的运作模式
也就是我们要考虑
针对图像集的转动群
那么对应于这些图像
我们必须要把它罗列出来
才能想清楚它有多少个转动影响
如果我们想用10种颜色
甚至20种颜色给这个顶点
进行着色呢
如果它不再是一个简单的四边形
它甚至是我们刚才黑板上的
排列组合中说到的那个立方体呢
这个时候我们发现
Burnside引理还不能很好地
解决空间上进行着色的问题
那么下节课呢
我们会给大家进行详细地解释
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