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错排2

下一节:第一类Stirling数

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错排2课程教案、知识点、字幕

我们来具体分析一下

对于n位数字串的话

它的错排该如何生成

比如说n位数字1 2 3一直到n

假设它的错排方案数用Dn来表示

那么我们可以先这样看

我先把前面n减1位全部按顺序排好

1 2 3一直到n减1

这时候要产生错排的话

我可以让最后一位数和前面的

n减1位的任何一个数字进行交换

交换之后剩下的n减2位必须是

一个所有元素都不在原来位置上

因此它实际上把规模降成了

一个n减2位数字进行错排的

那在这种情况下

我们发现最后一位数字它进行交换

一共有n-1种可能型

而剩下的n-2位再进行错排

也就是D(n-2)

那么这就取决了其中的一类

另外一类如果我们基于n-1位的

错排去产生n类错排的话

我们会发现给定一个n-1位的错排

我们就可以拿最后一位n和

前面的任何一位数字进行交换

就可以了

那这时候它的个数是多少呢

对应于这个数字i

它呢和前面一共n-1位可以

进行交换

而且其他的n-1位又是一个错排

因此它的方案数

就是n-1乘以D(n-1)

这两类无重复 无遗漏的把所有的

错排全部列举出来了

这时候我们就可以很自信地去

写对于错排的递推方案

也就是说Dn就等于

n-1乘以D(n-2)

加上n-1乘以D(n-1)

当然我们还少不了初始值

比如说我们如果对应于

两个数字进行错排的话

那么它不就是只有一种方案吗

当然我们分析这样一个递推关系

我们能够算出来D2是等于1的

但是这实际上是一个2阶的

递推关系

因此我们至少需要有两个初始值

那我们再往前推一下

如果只有一个数字它有几个错排呢

如果1放在这里

它怎么样都在自己的位置上

所以D1等于0

我们再可以根据递推关系

同时算出来D0恰巧是等于1的

我们刚才分析出来了对于

错排它具有这样一个递推关系

但是我们仔细看一下

这是一个什么样的递推关系呢

它的系数是n-1

随着n的不停的变化

它的系数也会跟着变化

所以我们可以发现

实际上这样一个递推关系并不是

我们所熟悉的线型常系数

齐次递推关系

我们对于线型常系数

齐次递推关系是可以直接求解的

但是对于非常系数的这种递推关系

其实并没有通用的解法

但是恰巧对于Dn来说

它是可以通过推导求解出来的

下面我们给它提供一个相应解法

我们可以看到实际上对应的

这样一个式子

我们可以把它改写一下

对应于n-1乘以D(n-1)

加上D(n-2)

我们可以把n乘以D(n-1)提出来

后面会剩下什么呢

我们会发现如果这边的是

Dn减去这边的n乘以Dn减1的话

正好右边会剩下一个跟它

结构非常相似的东西

也就剩下了一个负的D(n-1)

减去n-1乘以D(n-2)

这时候我们看到

随着n的不停地下降

它们对应的下标和它的系数

都会依次下降

这是一个非常好的型质

因此我们可以依次地

把它再继续(03:49)

直到往下(…)变成n减2

甚至n减3

依次累推

直到最后一项

也就是D1减去D0

对应的前面的负号在不停的作用

每次进行提取之后

都会剩余一个负1出来

因此最后一项是负1的n减1次方

D1 D0是我们刚才已经

求出来的初始值

这时候D1等于0

D2等于1

对应的算出来D0 D1

我们算出来之后

就发现D1等于0

D0等于1

代到里面就可以得到了

Dn的另外一个递推关系式

也就是Dn减去n倍的

Dn减1等于负1的n次方

我们就觉得奇怪了

不就是同一个Dn吗

我们竟然找到了它的

两个不同的递推关系

其实这种情况也是合理的

对于这个式子来说

其实我们看就更加复杂了

不仅仅它有变量的系数

同时它的右端项也不再是

齐次的常数了

但是这个式子具有它的规则的结构

因此我们照样可以对它进行求解

我们来同样用母函数方式

我们会知道其实在指数型母函数中

e的x次方等于1加x

加x的平方

除以2阶乘

加x3次方

除以3阶乘

那么依次我们就可以类似去设

对于Dn的它的的指数型母函数

是D0加上D1x

加上D2除以2阶乘x平方

一直加D3除以3阶乘x3次方

这时候我们还是套用母函数的

最原始的套路

也就是拿它的递推关系来

D1等于1乘以D0

加上负1的1次方

D2等于2乘以

D1加上负1的2次方

D3等于3乘以

D2加上负1的3次方

对于D1它对应的项是谁呢

是x

那我就给它乘以x

而对应的这一项呢

它的对应的是这里

所以我们照样去乘它的通项

x平方除以2阶乘

依次D3对应的通项是x3次方

除以3阶乘

所以我依次类推

把这些若干项全部累加起来以后

就会发现左边这个式子

不正好是gex吗

而右边这个式子我们发现这里D0

原来对应的是x0次方

而我这里多出来一个x

而这里是D1对应于

D1本来应该是对应的x

而如果我这边乘以x平方

再除以2阶乘进去的话

2和2阶乘正好消掉了

它和原来的D1x又多出了一个x

在x3次方里面也会发现

3和3阶乘消掉

只剩下2阶乘了

但是这里的幂次

D2原来应该对应的是x平方项

但这里多了一个x

因此在右端的第一项实际上我们只是

比原来的母函数多了一个x项

再看第二项

D2项不就是负1的k次幂吗

而负1的k次幂乘以x

除以k阶乘的话

对应下来不就是对应的

e的负x的展开式嘛

这时候我们已经有了它的母函数

有了这个母函数以后

我们整理

Ge(x)就等于e的负x次方

除以1减x

那么用母函数进行相乘

e的负x次方

我们可以写成1减x

加上x平方除2阶乘

而这个1减x对应于我们这边

可以变成1减x相除

而我们知道这个式子实际上

是不是等于1加x加x平方

一直累乘过去

所以我们进一步的整理

就会发现

这个的展开式的系数

也就是我们要求的Dn

实际上等于1减1加上1

除以2阶乘

再减再加再减再加

直到加减1除以n阶乘

再累乘n的阶乘

这实际上就是我们要求的

错排的方案数

而我们整理一下

我们把每一个阶乘都乘进去

最终可以整理出来错排就可以写成

组合数C(n,k)乘以n减k的阶乘

其中k从0到n

具体的中间过程

同学们可以在下面自己演算一下

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