当前课程知识点:组合数学 > 初识母函数 > Ferrers图像 > Ferrers图像
我们刚才说了
整数拆分可以用放球模型来表示
但是没有直接的计算方法
只能用母函数方式来做
那么对于它的一些性质我们如果想分析的话
其实有一个有力的工具
它叫做Ferrers图像
它是一个什么样的样子呢
我们看这样一张图
实际上Ferrers图像就有点像一个阶梯形
但是呢并不是我们台阶
而且直接把它翻了一下
Ferrers图像实际上就是整数拆分数的
一个非常有意义的表示方式
它呢 将n个数字表示成n个格子
那么这n个格子怎么摆放
就意味着一个整数拆分数方案
当然摆放的时候
我们需要考虑它的一些性质
比如说我们这样来从右上角到左下角来看
每一行 每一行 就可以对应若干个数字
那么对应来说因为在无序拆分中
我们不考虑它的顺序
因此在Ferrers图像中
我们要求它保持一个非递增性
怎么来理解这个非递增性呢
也就是说上一层的格子
一定不能比下一层的格子少
从上面到下面它是一个逐渐递减
或者不动的趋势
而不可能出现变长的趋势
在这样的约束下 这样一个阶梯状
我们称之为是Ferrers图像
它有几个特殊的性质
首先 你要保证它不会有一个0出现的话
那么每一层都至少要有一个格子
同时我们会发现
因为它是一个非递增的情况
那么如果我把它
沿着他中间的这条线翻转之后
它仍然保证是从右上到左下一个非递增关系
因此实际上我们把每一行每一列
如果对应互换的话
我就可以产生一个新的Ferrers图像
这两个Ferrers图像
我们称为是互共轭的Ferrers图像
有了这样一个定义之后
我们就可以来分析整数拆分十分有趣的结果
比如说对于数字n要拆分成最大数为k
和拆分成k个数之和的拆分数是相等的
这个怎么解释
如果我们要用母函数分析的话
是颇为复杂的
那么我们直接用Ferrers图像
就可以显而易见的得到结论了
我们首先想到什么叫做最大数字是k的呢
也就是对应于每一行
这一行中最多的格子数是k个
对于什么叫有k个数呢
意味着它应该Ferrers图像中有k层
所以我们可以看到对应于这样一个图像
这个图像它对应的这边呢
正好有五个数字
因为它有五行 那么它横着来看呢
一共最大的数字为六
意味着它最多能够拆分到六
因为我们知道Ferrers图像
如果经过翻转以后
仍然是一个Ferrers图像
有一个一一对应关系
所以我们把它翻过来之后
发现刚才说最大数字是六
现在我就变成了有六个数来构成
因此最大数字是k
和变成k个数之和
它们的Ferrers图像是一一对应的
因此很容易就可以从Ferrers图像上
证明了整数拆分数的这个性质
同样呢我们可以分析出来
整数拆分数最多不超过m个数的
和的拆分数和数字最大不超过m的拆分数(字)
也是相等的
这同样利用Ferrers图像也可以证明出来
在此呢就不详细描述了
那我们在进行整数拆分的时候
有时候会想我可以只把它拆分成奇数
是的 其实我们可以有这样一个性质
对应于一个整数
我们要拆分成若干个不相等的奇数的时候
它的拆分数和自共轭的Ferrers图像
个数是相等的
那么首先理解一下什么叫做自共轭呢
刚才我们说到Ferrers图像根据它的斜对角线
一翻转之后 仍然是一个Ferrers图像
如果这个Ferrers图像翻了之后
还是它自己的话
那我们就称它为自共轭图像
自共轭图像实际上对应的
就是奇数拆分数的表示方法
为什么这么说呢
实际上怎么样才能拆分成奇数呢
我可以说一个整数n可以表示成
2倍的n1加1 加上2倍的n2加2
依此类推 其中2倍的n1加1 2倍的n2加2
就是代表一些对应的奇数
那么在Ferrers图像中它会怎么去看呢
其实每一行和对应的它这一列
它们共用了其中一个点
如果行 列 长度是相等的
那么这样的点数之和实际上加起来
刚好可以表示成2倍的n1加1
或2倍的n2加2
因此 显而易见我们就可以看到
对应于一个数字
如果它能够拆分成若干个不相同的奇数的话
我就可以画出来对应的行 列 行 列
一直到最后
它就可以表示成若干个奇数之和
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