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错排1

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错排1课程教案、知识点、字幕

我们刚才听了那一首优美的乐曲

大家想到其实跳华尔兹的话

它实际上一曲终了

大家就会相互交换舞伴

那这样就会有一个问题

如果有n对男女来跳华尔兹

先跳了一曲

下一曲它必须要交换舞伴了

那有多少种不同的交换方法呢

首先我们要明确交换舞伴意味着

你必须要换人

那就是说你必须要产生一个

和原来不一样的排列

这个问题被称为是错排问题

最早研究它的实际上是

伯努利家族的尼古拉·伯努利和

欧拉共同去研究的

因此历史上又把这个问题称为是

伯努利欧拉装错信封问题

这是什么意思呢

当时他们就在研究这样一个问题

比如说邮递员拿了n封信封去

每个信封都应该有一个固定的

邮寄地址

但是这个邮递员实在是太马虎了

他把n封信投出去了

结果没有一封信正确地到达了

应该去的地方

这就是一个投错信封的问题

这和刚才我们去交换舞伴

实际上是一样的

那么这儿有一个问题

这实际上被称为是一个特殊的排列

也就叫错排

表示是在n个有序元素中

原来一共这个排列中使得

所有的元素都不在原来的位置

就称为是错排

有的也叫重排

当然在英文中我们说

排列可以是arrangement

那么错排就不是一个arrangement

它是被称为derangement

那我们来分析一下错排的递推关系

比如说拿最简单的

我们就拿两个数字来看

1和2

1 2它们都不在自己的位置上

只有一种方法

也就是2 1

那么有了2 1以后

我们就可以去想怎么生成

1 2 3的错排

对于1 2的错排

也就是2和1我们就可以直接

把它放在头两个位置上

最后的3先暂且补在后面的位置

这时候我们发现

头两位的位置已经是错的

只是第三位的位置还是保留原样了

那么我们就想是不是有可能我们

拿第三个位置和前面交换就可以了

这时候就会有两种可能性了

一种是和2进行交换

最后我们可以

生成一个错排是3 1和2

另外呢一种我们

可以和1进行错排交换

3和1进行交换

这时候我们生成的错排是2 3 1

这就是1 2 3三个数字的

所有的错排

那么1 2 3似乎还比较简单

我们再来看

稍微复杂一点的

1 2 3 4的错排如何产生

我们会看到1 2 3 4

它有若干个错排

一共有3乘以3

一共是9个

我们看到我们分成了3列

其实每列都有它各自的模式

第一列是4分别和1 2 3相互

交换位置

也就是说1 2 3顺序是放好的

4放在最后一位

要想产生错排

可以4和1 2 3中的任何一个

元素进行交换

剩下两个元素

要不让它待在原位的话

它们两个再进行交换

因此我们可以产生第一列的

比如说对于原来是1 2 3 4

那这个时候我选1和4互相进行交换

剩下的两个2和3再进行交换

就产生了一个错排

也就是4 3 2 1

依次我们对于不同的数字

进行选择的话

就会产生不同的错排

这是第一种方法

那么还有一种方法呢

也就是说我先有一个

1 2 3的错排

比如说

1 2 3的一个错排是3 1 2

这时候我如果把4补在

最后一位的话

只要让4和3 1 2中的

任何一个数进行交换

它都可以产生错排

对于1 2 3的错排还有一个

刚才我们分析了

应该是2 3 1

所以这时候第三列的结果实际上是

基于2 3 1这个错排

和4进行交换

产生了新的三个错排

可能看到通过四个数字错排分析

我们就会发现

实际上它是有分类的

两类不同的错排产生方法

因此我们可以去分析具体的

错排递推关系

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