当前课程知识点:组合数学 > 神奇的序列 > 错排 > 错排1
我们刚才听了那一首优美的乐曲
大家想到其实跳华尔兹的话
它实际上一曲终了
大家就会相互交换舞伴
那这样就会有一个问题
如果有n对男女来跳华尔兹
先跳了一曲
下一曲它必须要交换舞伴了
那有多少种不同的交换方法呢
首先我们要明确交换舞伴意味着
你必须要换人
那就是说你必须要产生一个
和原来不一样的排列
这个问题被称为是错排问题
最早研究它的实际上是
伯努利家族的尼古拉·伯努利和
欧拉共同去研究的
因此历史上又把这个问题称为是
伯努利欧拉装错信封问题
这是什么意思呢
当时他们就在研究这样一个问题
比如说邮递员拿了n封信封去
每个信封都应该有一个固定的
邮寄地址
但是这个邮递员实在是太马虎了
他把n封信投出去了
结果没有一封信正确地到达了
应该去的地方
这就是一个投错信封的问题
这和刚才我们去交换舞伴
实际上是一样的
那么这儿有一个问题
这实际上被称为是一个特殊的排列
也就叫错排
表示是在n个有序元素中
原来一共这个排列中使得
所有的元素都不在原来的位置
就称为是错排
有的也叫重排
当然在英文中我们说
排列可以是arrangement
那么错排就不是一个arrangement
它是被称为derangement
那我们来分析一下错排的递推关系
比如说拿最简单的
我们就拿两个数字来看
1和2
1 2它们都不在自己的位置上
只有一种方法
也就是2 1
那么有了2 1以后
我们就可以去想怎么生成
1 2 3的错排
对于1 2的错排
也就是2和1我们就可以直接
把它放在头两个位置上
最后的3先暂且补在后面的位置
这时候我们发现
头两位的位置已经是错的
只是第三位的位置还是保留原样了
那么我们就想是不是有可能我们
拿第三个位置和前面交换就可以了
这时候就会有两种可能性了
一种是和2进行交换
最后我们可以
生成一个错排是3 1和2
另外呢一种我们
可以和1进行错排交换
3和1进行交换
这时候我们生成的错排是2 3 1
这就是1 2 3三个数字的
所有的错排
那么1 2 3似乎还比较简单
我们再来看
稍微复杂一点的
1 2 3 4的错排如何产生
我们会看到1 2 3 4
它有若干个错排
一共有3乘以3
一共是9个
我们看到我们分成了3列
其实每列都有它各自的模式
第一列是4分别和1 2 3相互
交换位置
也就是说1 2 3顺序是放好的
4放在最后一位
要想产生错排
可以4和1 2 3中的任何一个
元素进行交换
剩下两个元素
要不让它待在原位的话
它们两个再进行交换
因此我们可以产生第一列的
比如说对于原来是1 2 3 4
那这个时候我选1和4互相进行交换
剩下的两个2和3再进行交换
就产生了一个错排
也就是4 3 2 1
依次我们对于不同的数字
进行选择的话
就会产生不同的错排
这是第一种方法
那么还有一种方法呢
也就是说我先有一个
1 2 3的错排
比如说
1 2 3的一个错排是3 1 2
这时候我如果把4补在
最后一位的话
只要让4和3 1 2中的
任何一个数进行交换
它都可以产生错排
对于1 2 3的错排还有一个
刚才我们分析了
应该是2 3 1
所以这时候第三列的结果实际上是
基于2 3 1这个错排
和4进行交换
产生了新的三个错排
可能看到通过四个数字错排分析
我们就会发现
实际上它是有分类的
两类不同的错排产生方法
因此我们可以去分析具体的
错排递推关系
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