当前课程知识点:组合数学 > Polya定理 > 从Burnside到Polya > Polya定理的应用(2)
刚才我们分析了
对应于正的四面体
我们来分析它
怎么从顶点来着色
这时候我们会想
刚才我们用了ABCD这样的
字符来表示它的顶点
但是最后计算的时候
这些顶点对应的顺序还有用吗
在伯恩塞德引理和
波利亚定理中
我们要考虑的是什么
我们实际上考虑的是置换结构
也许我们根本就不需要
写出每个置换长什么样子
还是拿这样的正四面体为例
我们确实有ABCD这四个顶点在
但是我们真正计算的时候想要
知道对于这样的运算中
到底有几个循环
我们只要写出循环的
样子就可以了
比如我们要考虑顶点和面心
进行正负旋转120度的时候
我们发现一个顶点不动
剩下一个顶点在一个循环中
因此我们只要写成
一阶循环有一个
三阶循环有一个
就已经代表了我们要找的
置换的样子
还有一个问题这样的
置换有多少个呢
我们无非就去找有多少个角度
有多少个顶点
这里面一共有四个不同的顶点
两个不同的角度
因此一共有8个
这样的对应的一阶循环一个
三阶循环一个的置换
另外我们再看棱中对棱中
进行交换的时候无非就是
两两顶点进行互换
那无非就是二阶循环有两个
有多少个对应的棱中呢
一共有3个
接着不动很简单
一共是四个顶点
每个顶点都是一阶循环
所以一阶循环有四个
这时候只需要简单地
列出所有置换的样子就行了
不需要了解它的具体细节
我们直接套用对应的
波利亚定理
把对应的几阶循环写进来
对应的几着色幂次进去
就可以直接得到答案
接着我们来看另外一道题目
对于有三种不同的珠子
比如说这里面
我三个珠子是不同颜色
我想穿一个有四个珠子的项链
请问有多少种方案
这时候我们会想这是不是
对应的圆排列呢
但是有不同的地方
在于我们只有
三种不同颜色的珠子
但是要做四个珠子的项链
必然有一种颜色是被重复的
因此这是一种可重的圆排列
同时这个排列是可以转的
它实际上是在对应的
一个空间内进行旋转
因此我们必须要考虑
它的置换群
这里会有一个问题
请问我考虑不考虑翻转呢
有时候这是一个现实的问题
什么叫考虑翻转呢
如果翻了以后还是跟
原来一样构成一项图形
那么我们就应该考虑
如果说翻过来就变样了
那我们就不应该考虑翻转
所以大家一定要想清楚
在现实中我们到底考虑不考虑
是有它的现实意义的
而且对应于考虑了之后
它的答案一样吗
我们分别来做一下
比如说我认为考虑翻转之后
假如说珠子就是劈成一半的
圆形珠子
如果翻过来就变成平面了
那意味着它的图形发生了变化
没有重合
因此翻转之后视为不同
这个时候我们只考虑旋转
对于这样平面上的四个点
它的旋转有多少种呢
无非就是绕中心转不同的角度
比如说绕中心转正负90度
每一个顶点都会
变成下一个顶点
因为四阶循环有一个
它有多少个角度呢
一共有两个不同的角度
也可以我是
正负旋转90度之外
还有一个是旋转180度
180度的时候
两两进行交换
因此是二阶循环有两个
另外还有一个不动
直接套波利亚定理
我直接就可以用
对应于三着色所以是
3的一次方再加上3的一次方
因为有两种不同的
正负90度嘛
然后再加上3的平方
再加上3的4次方
再除以所有的置换个数4
答案刚好是24
如果我们认为
这个珠子就是圆的
我把它翻过来之后
还是一条项链
我们就必须考虑翻转在内
这时候考虑翻转
我们同样去写
绕中心轴转正负90度
绕中心轴转180度
另外要找它的对称轴进行翻转
这时候我们会发现
对称轴有两种
一种对称轴在它们
对应的项链中间
也就是对称轴并不
穿过珠子的时候
我们发现它实际上是
两两进行翻转交换的
因此二阶循环对应的有两个
有多少这样的对称轴呢
无非就是这个角度 这个角度
一共有两个
我们还会发现
如果从一个珠子之间劈开的话
照样产生了另外的对称轴
而这个对称轴它的
置换是不一样的
因为在轴上的珠子是不动的
另外两个珠子进行互换
因此它写成置换是
一阶循环有两个
再来一个二阶循环
有多少个不同轴呢
同样也是有两种不同的选择
接下来还有不动
这时候我们再来看
实际上它一共有
多少种不同的置换呢
一共有8种不同的置换
而对应于我们
把三着色套进波利亚定理中
计算出答案是21
可以看到你考虑翻转
和不考虑翻转
它得到的答案是不一样的
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