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Fibonacci的直接表达式

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Fibonacci的直接表达式课程教案、知识点、字幕

那么我们下面呢就来分析一下

怎么去计算斐波那契的直接表达式

当然对于斐波那契来说

有很多种方法可以去计算它的直接表达式

这里面我们想给大家介绍一下母函数的方法

既然我们想用母函数的方法来算斐波那契表达式

首先我们需要有一个母函数

这里面我们用gx来表示斐波那契的母函数

说起母函数实际上就是把序列作为xk次方的系数

这里面因为我们知道

f0是等于0的

所以我们从f1x一直加到f2x平方

一直累加过去

这个式子实际上就是斐波那契的母函数

如果我们能够把母函数的表达式计算出来

自然就可以推广出来对应于序列它是长什么样子了

那么我们来分析一下

我们前面介绍过汉诺塔问题

我们是通过把它每一项每一项累加起来

来分析出gx的表达式是什么

我们同样采用同样的方法

对应于我们从x3次方开始加起

x3次方它的系数是f3

而f3根据递推关系等于f2加f1

x4次方它的系数是f4

也等于f3加f2

这样依次的累加出来

我们得到了一个序列

左边对应于就和gx是一样的

只是缺了前两项

所以左边等于gx减去x平方减去x

注意

这里面因为f1和f2系数都为1

因此我在这里面就省略了

而右边呢

右边实际上有两个项

我们分别来看

比如说这里对应的f2实际上它应该也是累乘x的3次方

f1也要累乘x的3次方

对于f3乘的x4次方

但是在原来的母函数中间

f2对应的是x平方

f3对应的是x的3次方

因此在这个式子累加过程中

它实际上多了一个x

那么把x提出来之后

后面还剩什么呢

后面的式子变成了f2乘以x的平方

加上f3乘以x3次方

和原来母函数相比

缺了仅仅是第一项

因此右端的第一项实际上累加起来就是等于x乘以gx减x

而第二项呢

第二项变成了f1乘以x的3次方

f2乘以x4次方

依次累加出来

对应于和原来的gx相比

它实际上多乘了x平方项

因此右端的累加和

就应该等于x平方乘以gx

这时候我们已经列出了有关gx的一个等式

那么gx应该长什么样子呢

我们直接就把它整理出来

变成1减x减x平方乘以gx

等于x

所以我们就能推出gx等于x除以1减x减x平方

而这里面我们因为想要把它进行展开分式之和

因此对于分母我们要进行一系列的变换

变成1减αx的样子

这里正好1减x减x平方

正好等于1减1减根号5

除以2x乘以1减1/2加根号5x

而这时候我们根据原来求汉诺塔的形式

我们就可以把它转化成了

变成两个分式之和

而其中一个分式

正好是这个因子构成了分母

比如说这里分母就是1减1/2加根号5x

当然它上面的系数应该得多少呢

我们并不知道

我们用a来代替

这作为一个待定系数

后续我们再通过解方程求解

另外一项变成了1减1/2 1减根号5x分之b

当然b作为一个待定系数也在这里面

作为a和b两个待定系数

通过下面的分式呢

来进一步的求解

这个式子就应该等于x除以1减x减x平方

那么至于a和b等于多少

我们就可以进一步的求解

其中a加b根据刚才的对应于分子是x

因此它的常系数应该得0

而它的一次项系数呢

正好是二分之根号五

a减b应该等于1

那么下面应该求解之后

我们就知道对应的a加b等于0

a减b等于根号五分之二

求出来a等于根号五分之一

b等于负的根号五分之一

这时候a和b都有了

自然我们就知道gx长什么样子了

把a和b代入

gx就正好等于根号五分之一乘以1减1/2加根号5x分之一

减去1减1/2 1减根号5x分之一

那这个时候我们知道

这个式子就可以利用泰勒展开变成α的k次方

乘以xk次方

这个系数呢

可以变成β乘以x的n次方

乘以x的n次方

因此我们为了简便起见

用α代替1/2加根号5

β变成了1/2减根号5

左边这个式子就可以变成了一个多项的累加和

变成了根号5分之一乘以α减去βx加α平方

减去β平方x平方

依次累加

这个时候我们引入了α和β之后

发现gx表达式就更加的容易

而对应的系数就应该是我们原来说的斐波那契数的序列

这里fn作为gx每一项xn次方前面的系数

就等于根号5分之一αn次方减去βn次方

代入α等于1/2加上根号5

β等于1/2加根号5

这时候我们可以列出斐波那契数第n项

它的表达式就等于根号5分之一乘以1/2加根号5的n次方

减去二分之一减根号5的n次方

走到这里

我们发现

我们已经得到了对应的斐波那契数的展开式了

而一个很神奇的地方在于

如果我们拿第n项的斐波那契数

除以第n减1项的斐波那契数

也就是刚才这样的式子

我们分别代入n和n减1之后

经过化解

刚好等于1/2加根号5

而1/2加根号5是什么呢

它正好就是我们的黄金分割1.618

刚才我给大家用母函数的方法求解出了斐波那契序列的直接表达式

大家可以看

斐波那契的递推关系非常的简单

fn等于fn减1加上fn减2

但是求出来的直接表达式

却是代了这么多根号一个事情

明明这个fn是一个整数

但是我们的直接表达式却用了一些无理数来表示

可以看到斐波那契实际上建立了从自然数和无理数之间的一种对应关系

而更多神奇的是两个相邻的fn和fn减1进行相除

它的比例正好是黄金分割点

而黄金分割实际上也可以用这样一个累加的方式进行表达

可以看到数学形式虽然多种多样

从中总有千丝万缕的联系

如果我们还是按照斐波那契这样的排列把它排出来之后

会得到一个这样一个黄金分割的曲线

而现实生活中

大家可以看到自然界也是应用了很多很多这样的黄金分割

所以说呢斐波那契实际上具有神奇的魔力

而且它在我们现实生活中很有巨大的应用

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