当前课程知识点:组合数学 > Polya定理 > 立方体旋转 > 立方体旋转(2)
刚才我们分析其实不动点呢
运算的时候
都需要考虑每一个面上
它的图象多样性
下面我们来用这样一道题让大家
感受一下怎么去找不动图象
对于这样一个问题仍然是
在处理正6面体
正6面体每个面上
多可以画对角线
那么如果每个面上
我任意的画一个方向上的对角线
请问有多少种不同的方案
大家会想正六面体
每个面长什么样子
是个正方形
正方形它可以这样画对角线
也可以这样画对角线
每个面上它有两种不同的选择
是不是就是可以参考二着色问题
又想到它和二着色
有没有一定的区别呢
我们要关注的是不动图象
不动图象意味着转了之后
还是它原来的样子
如果说只是着颜色的话
红色着了这个面上
转了之后仍然是红色
但是对于对角线来说
大家想一下
如果这样画对角线
然后转了90度之后
对角线的方向发生了变化
它不应该是我们所说的不动点
因此虽然可以参考二着色
但是对于这样特殊的问题
我要考虑它每面着色的多样性
要考虑它是否真正
产生了不动图象
我们依次来分析一下
对于不动 转正负90度 180度
以及棱心对棱心
对于他们对称轴来说
我们依次列出它的置换群
该置换群和我们刚才
那道题完全一模一样
但是我们要考虑
它有没有不动图象
也就是它转动之后是否对于
原来图象不发生改变
它的不动点到底有多少个
一开始不动置换
当然很容易
就是每个点不动
因此它就是一阶循环
一共有6个
二着色就是2的6次方
而面心对面心的时候
我们仔细考虑一下
面心对面心
上面一个面和下面一个面
分别转了90度
这时候如果一条
对角线长的是这个样子
斜着过去
但是一转90度
它就变成了和它正交的
一条对角线
图象肯定要发生变化
因此它的不动点个数应该是零
大家这时候一定要注意
不是简简单单
直接看它循环的样子
套用波利亚定理就够了
一定要仔细分析
我现在现实情况是什么
对于转180度呢
转180度它原来是这个样子
再转转180度还是这个样子
因此它是有不动图象的
而不动图象的个数应该等于
3乘以2的4次方
对于棱中对棱中
同样也是
对角线翻过来还是原来的对角线
因此它的不动图象也还是
用原来循环的个数就可以求出来
6乘以2的3次方
对于对角线来说
仍然还是原来对角线的样子
因此它的个数是8乘以2的平方
那么我们把右端的
这一系列数字累加起来
然后再除以所有的置换个数24
得到的就是我们这道题的答案
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