当前课程知识点:组合数学 > 组合之美 > 组合之美之多样的序列 > 组合之美之多样的序列
下面呢我们来帮助大家来回忆
我们介绍过的若干个的特殊的序列
我们还是先看一道作业题
这道作业题呢
实际上是在第二周给大家介绍的
也就是W2-G1这道题目
实际上是一个排队买票的问题
那么实际上
我们在《编程之美》这本书中
也有一道类似的题目
这道题目实际上也是是说
我们如果要去买一个足球队
一场比赛的门票
我们要排队
有五十块钱的
有拿一百块钱的
这时候如果门票就是五十块钱的话
一开始
卖票的地方如果没有
任何零钱准备的话
请问有多少种可行的卖出票的
永远都能找出钱的情况
那么这个问题实际上大家就会说了
这道题实际上是第二周的作业啊
确实当时我们并没有用
递推关系来给大家求解
我们实际上用到的是
格路问题给
大家进行的求解
实际上很多同学在做
这道题目的时候
就已经意识到了
这不是一个简单的
格路问题
实际上就是卡特兰数
而卡特兰数又对应的
也是出栈入栈问题
那么它有一个比较复杂的递推关系
它的递推关系不是简单累加了
而是累乘之后
进行累加
也就是
∑i从0一直
累加过去CiCn-i-1
这是一个非常复杂的递推关系
实际上
如果我们用格路求解的话
会发现它有一个通项的表达
实际上
卡特兰数如果我们用
格路求解的话
它就等于两个组合数之差
最后整理之后
它实际上就等于
C(2n,n)-C(2n,n-1)
所以呢 我们可以看到
卡特兰数虽然有一个
非常复杂的递推关系
照样用母函数的
方法进行求解它的通项
同样呢
也可以用基本的组合排列等等模型
进行抽象之后也能得到同样的结果
下面呢
我们给大家介绍另外一个
母函数形式
在通常意义上我们会说
母函数对应的就是这样一个
多项式的系数
而对应的在母函数中
它占位置的东西是x的k次方
这里我们称这样的一个
母函数呢也叫普通型的母函数
如果说我们想要去求解的
问题是带有排列的性质的话
那意味着我要在下面再要
除以它的阶乘数就可以
得到对应的排列的系数了
因此我们也用了另外一个概念
也就是指数型的母函数
那么指数型的母函数和
普通型的母函数相比
无非就是占位的东西不一样
在传统意义上的母函数中
我们就用X的K次方作为
占的位置而它的系数就是
我们想要求的序列
对于在指数型母函数中
我们实际上是用X的K次方
除以K的阶乘作为
占位而前面的
答案就对应的是排列数
因此我们可以看到
普通型的母函数
对应的一般就是求解组合问题
而指数型母函数就是来
求解对应的排列问题的
同样对应于我们一般在
普通型母函数中经常会用到
一减X分之一作为它的展开式一样
这时候在指数型母函数中
我们常用的泰勒展开实际上是
e的X次方 因为它对应的
每一个位置刚好
就是X的K次方除以K的阶乘
那意味着
E的X次方就是序列
1 1 1 1对应的指数型母函数
因为有了E的X次方这样的展开式
其实我们就可以把这个
序列进行变化
比如说E的X次方它对应的
系数就是1 1 1 1那如果是
E的负X次方呢
它对应的实际上
就是1 -1 1 -1
那么如果我们把E的X次方
和E的负X次方累加在一起
实际上
我们就可以得到
对应的偶数次的它们的
指数型母函数
那这样的一些变换呢
会经常用在具有一些
约束条件的排列问题中
还有一个非常有趣的问题
我们称之为错排问题
大家还记得
我们当时说是要交换舞伴吧
实际上错排问题就是说
你有一个排列
那么我们要产生另外一个排列
要对应的所有的顺序
要和原位置不同
那再简便来说
就是一二三四五进行排队的时候
任何一个数字不能放在
对应的序号位置下
它的方案 应该是怎么做呢
它确实也满足一定的递推关系
但是实际上通过分析之后
我们可以给它一个解析的
直接表达
它的解析直接表达
要是分析出来用
容斥原理的话
就非常容易求解
实际容斥原理的思想
就是说它现在先把所有的
方案囊括在内
它要刨掉谁呢
因为最后的答案它是说我要求
任何一个数字都不在它的位置上
那我可以把有一个数字在
它位置上的
全部刨掉这时候我
又刨多了我再累加过来
再累减过来
最终它的方案 数呢
实际上错排方案数Dn就等于
1!-1/2!一直累加
累减再乘以N的阶乘
大家可以知道
我们既可以用母函数的
方法来求解它的递推关系
同时也可以用容斥的
方法进行求解
当然容斥的思想
更为简单直观
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