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容斥原理的应用(4)

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容斥原理的应用(4)课程教案、知识点、字幕

我们提到了容斥原理是一个

非常有用的工具

能够解决很多很多的组合问题

那么我们就拿以前

我们学过的题目来看看

是不是能用容斥原理

给一个新的解法呢

比如说我们来看

我们非常熟知的对于不定方程

比如说x1加x2加x3等于

某一个常数

我要求它非负整数解的个数的数目

我们知道我们当时

就可以用隔板法呀

或者直接套用公式

就是Cn加b减1 b

比如说在这个式子中

我们是右端等于15的话

它的答案就是C3加15减1 15

这个题目似乎看着我们已经会做了

但是如果我给你一个约束条件呢

比如说对应于每一个xi来说

它的自变量取值都是有一定范围的

该如何处理呢

刚才那道题目

如果我加上一定的约束

比如说x1的范围是0到5

x2的范围以及x3的范围都是

从一个整数到另一个整数区间

这时候直接套用Cn加b减1b

似乎就不行了

因为它有可能会产生

一个解x1是大于5的

那该怎么做呢

我们是不是可以用

容斥原理来想一想呢

所以我们看在这样一个问题中呢

我们主要要解决的还是

对应于这些约束

比如x1它要在0到5之间

x2要在0到6之间

而x3在0到7之间

如果我们不管

这些所有的约束的话

它实际上就是我们以前

熟知的x1加x2

一直加到xn等于b的这样

一个方程中非负整数解的个数

直接就可以套用cn加b减1b

就可以了

那么对应于这里我们就想到

实际上它加了这些约束之后

我们无非就是想考虑是否能够

去掉它违反约束的情况

那么再仔细分析一下

对应于没有约束的情况下

x1加x2加x3等于15的

非负整数解个数

直接可以求出就是C15加3减1

15等于C17 2

那么对应于如果要违反约束的话

我们一分析会发现

如果违反约束会出现

x1大于等于6的情况

如果x1大于等于6

那么代回到原来的方程中

相当于这个数字应该是比6还大

那是不是我可以进行一下变化呢

假设对应于A1

它表示的是x1大于等于6的

解的个数

这时候我们用y1加6来代替x1

y1加6加x2 加x3等于15

我们把6转移到右边去

实际上就变换成似y1加x2

加x3等于9

这样的一个式子

直接可以套用Cn加b减1 b

A1的个数直接可以求出就是

C9加7减1 9等于C11 2

这是在处理第一个约束

同样我们对于第二个约束呢

对于第二个约束也就是

相当于要想违反它的话

我们可以说x2出现了

大于等于7的时候

跟刚才类似

我们仍然可以设对应的A2表示

x2大于等于7的所有的解的集合

这时候我们用y2加7来代替x2

x1加y2加x3

应该等于15减去7

它的整数解个数就是A2等于

C8加3减1 8等于C12

同样对于第三个约束

x3在0到7之间

如果我们想违反它的话

直接相当于等于x3应该大于等于8

这样我们依次分析设A3表示的就是

x3大于等于8的解的个数

x1加x2加上y9加8等于15

分析之后

A3的个数就等于C(7+3-1,7)

等于C(9,2)

这时候我们设了3个不同的集合

那我们要求的是什么

我们要求的是对应于

这里面没有违反的

也就是说没有违反x1大于等于6的

那么我们要求的是A1的补

而同时对于这个我们也要求

不能违反这个约束

也就是A2的补

对应于第三个约束

我们同样也要求它不违反

因此是A3的补集

对应于它们都必须要不违反的话

那我们就是在求它们的交集

因此我们的答案就应该是

A1补交A2的补

一直交A3的补

既然我们都可以求出来

A1 A2 A3的个数

我们自然可以还去求

A1交A2 A1交A3

套用容斥原理就可以求

出我们想要的答案了

我们依次往下分析

对应于想要求解

但这样约束非负整数解个数

我们可以算出来A1等于C11 2

A2等于C10

对于A3等于C9 2

A1交A2的意思说

对应于第一个约束

我们违反了

因此x1必须是大于等于6的

对于第二个约束

它也违反了

x2应该大于等于7

因此变换成y1加

6加y2加7加x3

等于15

那这时候A1交A2直接套进来是

C(2+3-1,2)等于C(4,2)

同理

可以算A1交A3

可以算A2交A3

同样A1交A2交A3

意味着第一个数字要大于等于6

第二个数字大于等于7

第三个数字大于等于8

正好是6加7加8

对应的已经超过右端项了

因此A1交A2交A3就等于0

这时候我们要求的是

A1的补交A2补交A3补

套用到原来的容斥原理

全集的个数就是

C(17,2)减去C(11,2)

减去C(10,2)

减去C(9,2)

加上C(4,2)

再加上C(3,1)加上1等于10

这就是我们要求的带有

约束情况下的非负整数解个数

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