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群的一些概念

下一节:置换群

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群的一些概念课程教案、知识点、字幕

我们下面来介绍群的一些

简单的概念

比如说有些集合它的个数是有限的

比如说刚才我们说到

对应于G

它的元素就是从0到n减1

一共就只有n个

那么这样的一个群被称为是有限群

但是有些情况下

这个G的个数是无限的

比如说我们对应于在欧氏空间中

这一旋转

它旋转的角度的个数是无限的

我们称之为是无限群

对于有限群

我们就可以记录它的阶数

我们定义有限群G的元素个数

就称为这个群的阶数

那么我们会发现其实既然是群

它就有可能有子群

所以对应于一个大的群G的话

它的若干元素如果拿出来

在它的原运算下仍然构成

一个群的话

我们就称它为是子群

这是一些很常见显而易见的

一些概念

但是有一个问题我们回想一下

我们刚才说到了

群应该是满足结合律的

那么我们在学加法的时候

除了结合律还有什么呢

大家是不想起来还有一个叫做

交换律的东西

也就是说a加b和b加a是相等的

但是在群中

我们并不要求所有的元素

对应的二元运算都满足交换律

只有一些特殊的情况下

它会满足交换律

而满足交换律的群是一类特殊的群

我们称之为是交换群

因为它对应的任何元素两个a和b

它们的二元运算

a运算b等于b运算a

这个群也称为是阿贝尔群

而除了这些特性之外

我们会发现深入地分析群的一些性质

比如说对应于在群中

它能有多少个单位元呢

大家想

在加法中就一个0啊

它就一个单位元

乘法中只有一个1是单位元

所以我们可以猜测

在群中单位元是唯一的

确实我们会发现

如果有两个单位元的话

那么两个单位元它们进行运算

实际上最终还得到一个单位元

那自然它们是相等的呀

同时消去律是存在的

比如说a运算b等于a运算c

那么我两边都去运算a的逆的话

意味着b就等于c

因此消去律是成立的

而同时因为我们对应的单位元

是唯一的

那每一个元素对应的逆元

也是唯一的

而且通过逆元的运算呢

我们可以得到比如说ab一直到c

它们这么多元素

它们的取逆

实际上应该等于把它们的顺序

调过来等于c的逆

一直累乘b的逆a的逆

为什么呢

我们会发现

实际上我们用c逆b逆a逆乘以abc

中间两两进行结合

最终就得到了单位元e

因此他们两个元素实际上构成了

逆元关系

同时我们在研究有限群的时候

会发现一个有限群他中间的

任何一个元素

经过若干次的自己和自己运算

都会得到单位元

也就是对于有些g来说

它有一个元素a的话

那我必然能找到一个正整数小r

使得a的r次方

在这里我们简便来说

实际上a的r次方相当于a运算r次

它的结果就等于单位元

而且a的逆等于什么

a的逆就等于a的r减1次方

为什么呢

实际上我们可以这样想

因为对应于在g里面它的元素个数

一共有小g个

也就是它的阶数是g

那我就可以来设a a平方

一直到a的g次方

这里面呢根据鸽巢原理

我们就知道我们对应的这些

g加1的元素里面

它必然会有两个是相同的

两个相同的话

我们发现哪两个相同呢

我们就可以假设对应于l和m次方

它们是相同的

那这里我可以假设对应于m小于l

它们在1到j加1之间

而同时这时候我们利用消去律的话

就会发现e实际上就应该

等于a的l减m次方

那意味着小r是不是就等于l减m

所以这个元素a只要经过若干次的

自己和自己运算

就可以得到单位元

而对应根据这个情况我们自然

也可以得到a的逆

就等于对应的r减1的a次运算

而同时我们会发现

在这里我们仍然可以把对应的

a元素 a的平方

一直到a的r次方拿出来

它就构成了在原来运算下面的

一个子群

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