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群的定义

下一节:群的一些概念

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群的定义课程教案、知识点、字幕

说起伽罗华实在太传奇了

可以说在他短短的21年的一生里面

却带给了我们无穷的财富

在他的短短的几篇论文里面

他用群这个概念根本解决了

五次方程

一元五次方程以上不可解

这是困扰了数学界将近几百年的

一个历史问题

而且他定义了什么叫做群

研究了群的一般性质

因为他的思想太超前了

当时没有人能够理解他群的意义

直到他死后

十几年之后

才由刘维尔在1846年

把他的思想整理成册

散播到广大的数学界中

人们才逐渐意识到群给我们开辟了

新的空间

所以伽罗华呢

虽然只是21岁的生命

但是他被公认为是数学史上两个

最具浪漫主义色彩的人物之一

他的死被人们认为使数学的发展

推迟整整几十年

有人就曾经这样评价说

伽罗华就是上帝派来的

只是在人世间短短的转了一圈

仅是21年

但是不小心却开启数学的一个

新的领域

也就是这个字 群

群 到底是什么

其实我们可以用

伽罗华的一段话来说

群就是他要将数学的运算进行归类

伽罗华在监狱中的研究报告却写到

他要做的工作是什么

他要把数学运算归类

根据它们的难易程度

而不是它们的外部表象

这是伽罗华所认为

未来数学家将要走的道路

那么群到底是什么

群的概念说起来相当的抽象

所谓群无非就是一个集合

集合里有若干元素

而定义在集合上有一个二元运算

这个运算可以是加减乘除

甚至我们认为的抽象的

任何一个东西

我们就用点来表示

一个集合一个运算它要满足

若干项个性质

比如说封闭性

集合中的元素进行相互运算

它的结果仍然在集合中

这就是封闭性

同样结合律

我们都知道加法结合律吧

A加B加C等于B加C先加

然后再加A

同样再群中也需要满足

如果有三个元素

它们之间进行二元运算的话

那么A运算B

再运算C

可以等于对应的B和C先运算

然后再和A进行运算

这就是所谓的结合律

同时

在我们这个群论概念中

一定要有单位元

何为单位元

单位元的意思说

它和别人运算不改变别人

那就像我们说加法中

0加任何数还是任何数

所以一定要有一个单位圆

有了单位元的概念

我们还需要有逆元

也就是我们会知道1和负1

在加法中等于0

因此在运算中我们也定义

任何一个元素A必然存在

另外一个逆元

我们可以用A的负1来表示

那么A和A的负1

它们运算结果就是单位元

这四条就是群的概念

那么群似乎非常的抽象

我们刚才拿加法举了个例子

当然我们还可以用其他的

更简单的方式

比如说举一个简单的例子

就有这样一个笑话

有人曾经到法国去

然后问一位小孩

说你知道1乘1等于什么吗

那个小孩很不屑

说我不知道

当时就觉得这个小孩怎么连1乘1

都不知道呢

但是这个小孩补了一句话

他说1和乘法构成了一个群

这是什么意思呢

这个小孩其实已经跨越了加减乘除

他把思维已经定义到群的概念上了

因为伽罗华是法国人

所以群实际上也是法国人的骄傲

那么为什么1和乘法构成了

一个群呢

我们来看

群的概念首先要有元素构成集合

那么1确实就是一个元素

它对应的二元运算1乘以1

就是一个二元运算

它是否满足我刚才说的4个条件呢

是不是封闭呢

确实1乘以1还1得1

那么它是不是满足结合律呢

乘法满足结合律

它是否有单位元呢

1就是单位元

另外它有没有逆元呢

1乘以1还得单位元1

所以4个条件完全满足

那么就是这么简单的一个运算

集合一个元素1它对应的乘法

就构成了一个群

当然还有更稍微复杂一点的

比如说1和负1

在普通的乘法里

也构成群

封闭型 结合律 单位元以及逆元

全部都满足

那么再稍微复杂一点

比如说我们找到了一个集合

它里面元素又有n个0 1 2

一直到n减1

它在mod n的加法下

是一个群

什么概念

我们这里面看到元素集合就是

g里面有n元素

而它的运算就是在mod n取模下

进行加法

它是否满足封闭性呢

自然任何的一个元素在g里面

再加上g里面另一个元素

它们加起来再mod n的加法下

自然还是在0的n减1之间

结合律

加法结合律成立

单位元0加任何数保持不变

是否有逆元素呢

部分我们看一下

对应于a这个元素

我们可以去找n减a这个元素

它们俩加在一起

在modn的话

它们的答案得0

所以a存在逆元

也就是a的逆等于n减a

我们又证明了这样一种加法

它也构成了群

而同时

还有更多的群的概念

比如说我们可以在二维的空间里面

来定义刚体的旋转

刚体的旋转可以用旋转角度来表示

比如说用Tα表示它旋转α度

这时候我们就可以把它写成Tα

就等于cosαsinα负sinα这样的形式

那么在这样的一个运算下

我们是不是也构成了一个群呢

何为群

四个条件

首先封闭性

封闭性意味着我先转一个角度

再转一个角度

这样一个连转形式

是不是仍然产生了一个对应的

相应的形式还在欧式空间中呢

我们用比如说Tb和Ta里表示

这两个夹角

通过刚才的Ta的运算

我们知道就相当于这两个

式子进行相乘
我们知道就相当于这两个

式子进行相乘

通过cos和sin的三角公式

我们可以整理出来

对应的TbTa实际上就等于Tb加a

从形式我们在空间中想象

也是一样的

先转一个角度

再转一个角度

就相当于转了a加b这么多角度

因此最终它的结果还是在一个

二维欧式空间进行旋转

没有跑出g的范围内

同时呢我们考虑一下结合律旋转它

自然满足先转后转都是一样的

单位元不转的话

它就是它自己

那么逆元素转过去α角度

再转回来负α角度就是它的逆元

因此我们可以看到

旋转也是一种对应的群

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