当前课程知识点:组合数学 > 群 > 可以转的世界 > 群的定义
说起伽罗华实在太传奇了
可以说在他短短的21年的一生里面
却带给了我们无穷的财富
在他的短短的几篇论文里面
他用群这个概念根本解决了
五次方程
一元五次方程以上不可解
这是困扰了数学界将近几百年的
一个历史问题
而且他定义了什么叫做群
研究了群的一般性质
因为他的思想太超前了
当时没有人能够理解他群的意义
直到他死后
十几年之后
才由刘维尔在1846年
把他的思想整理成册
散播到广大的数学界中
人们才逐渐意识到群给我们开辟了
新的空间
所以伽罗华呢
虽然只是21岁的生命
但是他被公认为是数学史上两个
最具浪漫主义色彩的人物之一
他的死被人们认为使数学的发展
推迟整整几十年
有人就曾经这样评价说
伽罗华就是上帝派来的
只是在人世间短短的转了一圈
仅是21年
但是不小心却开启数学的一个
新的领域
也就是这个字 群
群 到底是什么
其实我们可以用
伽罗华的一段话来说
群就是他要将数学的运算进行归类
伽罗华在监狱中的研究报告却写到
他要做的工作是什么
他要把数学运算归类
根据它们的难易程度
而不是它们的外部表象
这是伽罗华所认为
未来数学家将要走的道路
那么群到底是什么
群的概念说起来相当的抽象
所谓群无非就是一个集合
集合里有若干元素
而定义在集合上有一个二元运算
这个运算可以是加减乘除
甚至我们认为的抽象的
任何一个东西
我们就用点来表示
一个集合一个运算它要满足
若干项个性质
比如说封闭性
集合中的元素进行相互运算
它的结果仍然在集合中
这就是封闭性
同样结合律
我们都知道加法结合律吧
A加B加C等于B加C先加
然后再加A
同样再群中也需要满足
如果有三个元素
它们之间进行二元运算的话
那么A运算B
再运算C
可以等于对应的B和C先运算
然后再和A进行运算
这就是所谓的结合律
同时
在我们这个群论概念中
一定要有单位元
何为单位元
单位元的意思说
它和别人运算不改变别人
那就像我们说加法中
0加任何数还是任何数
所以一定要有一个单位圆
有了单位元的概念
我们还需要有逆元
也就是我们会知道1和负1
在加法中等于0
因此在运算中我们也定义
任何一个元素A必然存在
另外一个逆元
我们可以用A的负1来表示
那么A和A的负1
它们运算结果就是单位元
这四条就是群的概念
那么群似乎非常的抽象
我们刚才拿加法举了个例子
当然我们还可以用其他的
更简单的方式
比如说举一个简单的例子
就有这样一个笑话
有人曾经到法国去
然后问一位小孩
说你知道1乘1等于什么吗
那个小孩很不屑
说我不知道
当时就觉得这个小孩怎么连1乘1
都不知道呢
但是这个小孩补了一句话
他说1和乘法构成了一个群
这是什么意思呢
这个小孩其实已经跨越了加减乘除
他把思维已经定义到群的概念上了
因为伽罗华是法国人
所以群实际上也是法国人的骄傲
那么为什么1和乘法构成了
一个群呢
我们来看
群的概念首先要有元素构成集合
那么1确实就是一个元素
它对应的二元运算1乘以1
就是一个二元运算
它是否满足我刚才说的4个条件呢
是不是封闭呢
确实1乘以1还1得1
那么它是不是满足结合律呢
乘法满足结合律
它是否有单位元呢
1就是单位元
另外它有没有逆元呢
1乘以1还得单位元1
所以4个条件完全满足
那么就是这么简单的一个运算
集合一个元素1它对应的乘法
就构成了一个群
当然还有更稍微复杂一点的
比如说1和负1
在普通的乘法里
也构成群
封闭型 结合律 单位元以及逆元
全部都满足
那么再稍微复杂一点
比如说我们找到了一个集合
它里面元素又有n个0 1 2
一直到n减1
它在mod n的加法下
是一个群
什么概念
我们这里面看到元素集合就是
g里面有n元素
而它的运算就是在mod n取模下
进行加法
它是否满足封闭性呢
自然任何的一个元素在g里面
再加上g里面另一个元素
它们加起来再mod n的加法下
自然还是在0的n减1之间
结合律
加法结合律成立
单位元0加任何数保持不变
是否有逆元素呢
部分我们看一下
对应于a这个元素
我们可以去找n减a这个元素
它们俩加在一起
在modn的话
它们的答案得0
所以a存在逆元
也就是a的逆等于n减a
我们又证明了这样一种加法
它也构成了群
而同时
还有更多的群的概念
比如说我们可以在二维的空间里面
来定义刚体的旋转
刚体的旋转可以用旋转角度来表示
比如说用Tα表示它旋转α度
这时候我们就可以把它写成Tα
就等于cosαsinα负sinα这样的形式
那么在这样的一个运算下
我们是不是也构成了一个群呢
何为群
四个条件
首先封闭性
封闭性意味着我先转一个角度
再转一个角度
这样一个连转形式
是不是仍然产生了一个对应的
相应的形式还在欧式空间中呢
我们用比如说Tb和Ta里表示
这两个夹角
通过刚才的Ta的运算
我们知道就相当于这两个
式子进行相乘
我们知道就相当于这两个
式子进行相乘
通过cos和sin的三角公式
我们可以整理出来
对应的TbTa实际上就等于Tb加a
从形式我们在空间中想象
也是一样的
先转一个角度
再转一个角度
就相当于转了a加b这么多角度
因此最终它的结果还是在一个
二维欧式空间进行旋转
没有跑出g的范围内
同时呢我们考虑一下结合律旋转它
自然满足先转后转都是一样的
单位元不转的话
它就是它自己
那么逆元素转过去α角度
再转回来负α角度就是它的逆元
因此我们可以看到
旋转也是一种对应的群
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