当前课程知识点:组合数学 > 小乒乓球的组合之旅 > 钟声里的全排列 > 程序支持与Stirling公式
刚才我们介绍了很多种不同的全排列生成算法
实际上呢 现在的编程环境
也给大家提供了非常有利的工具
比如说在Java中它就直接提供了
Permutation以及Combination的函数
在其他的一些算法介绍中
都会介绍如何去生成全排列
同样呢 我们现在在学术界
我们会发现也有很多相关的论文都会介绍
不同情况下
如何去有效合理地产生所有的全排列
实际上我们用的最多的还是STL中
提供的两个非常有用的排列生成工具
我们看一下
在STL标准程序库中有这样两个函数
一个是next_permutation 一个是prev_permutation
这两个函数实际上就是
依次生成字典序中的下一个序列
那么我们就可以看一下
如果我们拿这两个函数去生成全排列
程序运行效果怎么样呢
这里呢我们编写了一个简单的代码
来演示在STL库中next_permutation的用法
当然prev_permutation也是一样
基本上我们主要思路就是给定了一个初始的串
之后呢我们通过循环调用next_permutation
就可以产生所有的全排列
那么我们来运行一下看一下
比如说我们让它来计算
abcd这四个字符构成的全排列
很快就能出现结果
那么如果我们处理更大一点的字符呢
比如说abcdefghij一共十个字符
我们来看看它处理的效率如何
我们看屏幕一直在闪
两分钟过去了
我们可以看到对应于十个数字
它需要产生十个阶乘的对应的全排列
但是即便我们利用STL库里面
提供的next_permutation来计算的话
仍然需要很大的时间量和计算复杂度
所以我们可以看到 对应于全排列的生成
它的规模是急剧地增加的
我们现在如果想要处理
十个字符产生的全排列
没有一个非常有效而快速的解决方案
大家看了程序演示之后肯定会觉得
哎呦 n阶乘的数量级相当之可怕吗
确实如此
那么它到底大到什么程度呢
我们看有这样一个数
我们都知道
n的阶乘它不断地进行的是累乘操作
那么很快它就有可能溢出了
所以我们需要一个比较有效的方法
来对它进行直接的估计
有一个数叫做Stirling数
这个数字的意义就在于它并没有通过
累乘来计算n阶乘
而是用一个近似的解析方法
来能够近似地去逼近n阶乘
那么具体的证明呢
大家可以看一下参考的资料
我们现在给它一个结论
也就是说 n阶乘 当n趋于无穷大的时候
它近似的等于根号2πn (n/e)的n次方
那我们来算一下 到底n阶乘能到多大呢
这是n阶乘对应的一个对数表
我们拿60来看一下
60带到刚才的Stirling数的公式里面算的出来
60的阶乘等于8.34乘以10的81次方
这个数字有多大呢
假如我们要做60个数字的全排列
如果这个计算机它的处理能力能够达到
每秒钟生成10的7次方个全排列的话
需要花多久呢
大家算一算 答案非常的惊人
它达到了2.65乘以10的67次方年
我们才能列举60个数字的全排列
可想而知 n阶乘它的增长速度相当之快
那么意味着
我们需要更加有效的方法
去处理特别的问题
到目前为止
其实全排列生成算法花样繁多
至少有20多种算法
都可以来处理全排列生成算法
当然这并不是最后
我希望同学们呢也去研究一下
可不可以自己做出来更快更好的
全排列生成算法呢
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