当前课程知识点:组合数学 > Polya定理 > 母函数型Polya定理 > 母函数型Polya定理(4)
刚才我们看的都是立方体
一些旋转
现在我们看一个稍微有点
不太一样的例子
我们这回是拿字母
比如说我有四个标有字母的球
他们是可以重复的球的排列
比如说有两个球被叫做A
两个球被叫做B
AABB这四个球
要放到三个不相同的盒子里
方案数是多少
同样我如果再进一步
如果我们要求不允许有空盒的话
有多少种不同的方案
我们其实可以先放A再放B
如果先放A
无非就是两个元素要
放到三个盒子里面
两个相同元素放入三个不同的盒子
实际上我们用隔板法
就可以算出来
就是C2加3减1
答案就是6
这是A的方案
B的方案与它是一样的
所以根据分布的乘法法则
具体的答案就是
6乘以6等于36
这时候有可能有空盒
我们可以用容斥原理
把不允空盒子的情况
全部排除出去
也就是对应的C(4,2)的平方
36减去有一个空盒
一个空盒3种不同的选择
我可以有三种不同的选择
再乘以剩下的元素
放入两个盒子中
也就是C(3,2)的平方
对应于我可能还要补回来
有两个空盒子的情况
我再把它加回来
然后再减出去
最后的答案呢
我们利用容斥原理得出的答案是
要是允许它不能有空盒
它的答案是12种
这时候我们想这个问题是不是
也可以用波利亚定理来求解呢
我们来分析一下
刚才我们用传统容斥的方法
来把AABB放入三个
不同的盒子里面
而且不允许有空盒
现在我们用母函数型的
波利亚定理来求解
首先先把这四个球区分开
我们用A1 A2
B1 B2来表示
相当于把四个球放入三个盒子
就可以抽象成给
四个球进行三着色
这时候我们进行三着色的时候
因为A1和A2他们是一样的
因此它们可以看成
一种等价关系
所以我们建立这样群体的关系
G等于单位元
E以及A1 A2
A1 A2可以互换
B1 B2
B1 B2可以互换
以及
A1换A2
同时B1换B2
这样的约束条件下
我们实际上建立了
AABB的定量关系
这时候求对应的三着色
他们上面的三着色
首先对于E来说
它实际上一共有四个元素
每个元素都是一阶循环
而每个元素因为有
三个盒子可以去
可以抽象成三着色
因此是3的4次方
再加上第二个对应的
循环是2乘以3的3次方
因为第二个和第三个
他们长的样子是一模一样的
最后一项实际上对应的
是两个阶乘
每一个循环内部都是
有三种不同的颜色
因此是3的平方
再除以对应的置换个数4
答案是36
这时候我们也可以
利用母函数型把它依次打开
第一项中
每一个一阶循环就是
R加B加G三着色
一共有四个这样的情况
再加上第二项它可以有首先是
一个二阶循环
R平方加上B平方
加上G平方
剩下两个一阶循环
R加B加G的平方
一共有两个这样的东西
所以前面的系数乘以2
再加上后面的R平方
加上B平方加上
G平方的平方项除以4
对应我们想要求
要这展开中取
R的I次方
B的J次方和G的
K次方项的话
要求I J K必须大于零
我们就可以列出来
R1B1G2的系数和
R1B2G1的系数以及
R2B1G1的系数都相等
代入到上面的式子里面
就等于从四个里面挑一个
然后再乘以后面的C(3,1)
再乘以C(2,2)
再加上从这个里面的项
我们也可以找到一项
就是2的C(2,1)
同时再除以4
答案就是4
对于要求不允许空盒
上面这三种情况
已经完全枚举出来了
因此若不允许空盒
它的分配方案数就应该
每一个种类它有4种
在乘以三个种类
因为是4乘以3等于12种
我们用了相对比较另类的方法
把AA BB这样的
关系做成了群
利用置换上进行着色
得到方案数
和容斥原理得到的
答案是一模一样的
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