当前课程知识点:组合数学 > 容斥原理和鸽巢原理 > 容斥原理的精妙 > 容斥原理的应用(2)
刚才我们给大家介绍了有关
数字排列可以用容斥原理得到
一个非常简洁的答案
那么下面我们来看看
在数论中比如研究素数
如何来运用容斥原理
我们有这样一道题目
想问你不超过120的素数有多少个
那我们分析一下
如果我们在正整数中去研究
1 2 3 4 5
一直到120
在这样120个数中
有多少个数是完全没有
除了它自己和1之外因子的
这就是素数的概念
那意味着什么
意味着这些数字它不能被
2 3 5 7等等数字整除
而120是谁呢
120它是小于11的平方的
因此在120之内
它如果想要有因子的话
就无非是要么有2因子 3因子
是5或者7
那这时候我们就会发现
如果想求素数
意味着什么
意味着在1到120之间的这些数字
它们不能被2整除
也不能被3整除
也不能被5整除
也不能被7整除
那反过来
我们是不是就可以直接用
容斥的思想
那我是不是就可以设
被2整除的是A2
被3整除的是A3
被5整除的是A5
被7整除的是A7
我要求的不能被它们整除的数字
也就是A2的补交上A3的补
交A5的补
交A7的补
那我们只要去求到
任何一个A2 A3
甚至它们两两相交
三三相交 四四相交的个数可以了
那我们来分析一下
对应于A2表示的是1到120之间
有多少个数能被2整除
刚才我们已经用过这个思想
就是用120除以2下取整
就可以计算出来
所以对于单个单个集合
我们直接用120分别
除以2 除以3 除以5 除以7
就可以得到单个单个集合的个数
两两相交呢
两两相交A2交A5表示的是
同时能被2整除
也能被5整除的
那它的个数就等于
120除以2乘以5的下取整的个数
那两两相交的个数我们也会算
无非就是用120除以
两个因子的乘积
接下来三个三个也是一样的
三个三个无非是
比如说A2交A3交A7
那就意味着对应的
120除以2乘以3乘以7
下取整
依次我们还可以算出四个的
那么最后我们要代到
容斥原理的式子
也就是A2的补集交给A3补集
交上A5的补集
交A7的补集
它们的个数等于全集的
个数减去单个单个集合的个数
加上两两的
再减三三的
再加上四四的
最后通过计算我们算出来
一共有27个
这道题到此就为止了吗
注意
我们这里面算的什么
我们算的是能够被
2 3 5 7整除的数字
那么但凡被
2 3 5 7整除的数字
在我们这样的式子都把它抛掉了
那么这些抛掉的数字有没有素数呢
比如说2是不是素数呢
2能被2整除
但是它是不是素数呢
所以在这里面我们不要忘记
我们最终要求的是素数
而不是不能整除的数
当然我们这里特殊情况也就是
刚好是这个数字的情况
也就是我们应该把
2 3 5 7重新再加回来
但是还有一个概念
就是1是不是素数
在这里面呢
我们认为1是一个非素数
因此这里面我们最终的答案
应该是27加上4减去1等于30
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