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容斥原理的应用(2)

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容斥原理的应用(2)课程教案、知识点、字幕

刚才我们给大家介绍了有关

数字排列可以用容斥原理得到

一个非常简洁的答案

那么下面我们来看看

在数论中比如研究素数

如何来运用容斥原理

我们有这样一道题目

想问你不超过120的素数有多少个

那我们分析一下

如果我们在正整数中去研究

1 2 3 4 5

一直到120

在这样120个数中

有多少个数是完全没有

除了它自己和1之外因子的

这就是素数的概念

那意味着什么

意味着这些数字它不能被

2 3 5 7等等数字整除

而120是谁呢

120它是小于11的平方的

因此在120之内

它如果想要有因子的话

就无非是要么有2因子 3因子

是5或者7

那这时候我们就会发现

如果想求素数

意味着什么

意味着在1到120之间的这些数字

它们不能被2整除

也不能被3整除

也不能被5整除

也不能被7整除

那反过来

我们是不是就可以直接用

容斥的思想

那我是不是就可以设

被2整除的是A2

被3整除的是A3

被5整除的是A5

被7整除的是A7

我要求的不能被它们整除的数字

也就是A2的补交上A3的补

交A5的补

交A7的补

那我们只要去求到

任何一个A2 A3

甚至它们两两相交

三三相交 四四相交的个数可以了

那我们来分析一下

对应于A2表示的是1到120之间

有多少个数能被2整除

刚才我们已经用过这个思想

就是用120除以2下取整

就可以计算出来

所以对于单个单个集合

我们直接用120分别

除以2 除以3 除以5 除以7

就可以得到单个单个集合的个数

两两相交呢

两两相交A2交A5表示的是

同时能被2整除

也能被5整除的

那它的个数就等于

120除以2乘以5的下取整的个数

那两两相交的个数我们也会算

无非就是用120除以

两个因子的乘积

接下来三个三个也是一样的

三个三个无非是

比如说A2交A3交A7

那就意味着对应的

120除以2乘以3乘以7

下取整

依次我们还可以算出四个的

那么最后我们要代到

容斥原理的式子

也就是A2的补集交给A3补集

交上A5的补集

交A7的补集

它们的个数等于全集的

个数减去单个单个集合的个数

加上两两的

再减三三的

再加上四四的

最后通过计算我们算出来

一共有27个

这道题到此就为止了吗

注意

我们这里面算的什么

我们算的是能够被

2 3 5 7整除的数字

那么但凡被

2 3 5 7整除的数字

在我们这样的式子都把它抛掉了

那么这些抛掉的数字有没有素数呢

比如说2是不是素数呢

2能被2整除

但是它是不是素数呢

所以在这里面我们不要忘记

我们最终要求的是素数

而不是不能整除的数

当然我们这里特殊情况也就是

刚好是这个数字的情况

也就是我们应该把

2 3 5 7重新再加回来

但是还有一个概念

就是1是不是素数

在这里面呢

我们认为1是一个非素数

因此这里面我们最终的答案

应该是27加上4减去1等于30

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